Pallomaisen tähtijoukon M13 massa

Tomi Hyvönen

Tässä artikkelissa lasketaan arvio pallomaisen tähtijoukon M13 massalle Tampereen Ursan tähtitornilla kuvattujen B-kaistan fotometriahavaintoja käyttäen. Havainnoista saadaan mitattua kohteen kirkkaus ja fysikaalinen koko, kun etäisyys tiedetään. Kirkkaudesta saadaan Faber-Jackson -relaation avulla arvio pallomaisen tähtijoukon nopeushajonnalle. Massa saadaan laskettua viriaaliteoreemasta nopeushajonnan ja fysikaalisen säteen avulla.

M13 pallomainen tähtijoukko. Joukon kuvasi Markku Lintinen  ZWO Seestar S50 tähtikameralla 9.12.2024. Valotusaika on 16 minuuttia. Kuva © Markki Lintinen.

Yleistä

Pallomaiset tähtijoukot ovat maailmankaikkeuden vanhimpia kohteita. Ne muodostuivat maailmankaikkeuden ollessa noin miljardin vuoden ikäinen. Pallomaiset tähtijoukot ovat tiiviitä ja stabiileja nimensä mukaisesti pallomaisia gravitaation koossa pitämiä tähtijoukkoja, joihin kuuluu noin 10⁵ tähteä. Keskimääräinen tähtitiheys on noin 0,4 pc^-3. Valokuvista on helppo huomata tähtitiheyden kasvavan keskustaa kohti mentäessä. Keskusalueen tähtitiheys on noin 10² –10³ pc^-3. Vertailuksi auringon ympäristön tähtitiheys on noin 0,1 pc^-3.

Pallomaisten tähtijoukkojen tähdet ovat pääasiassa hyvin vanhoja vähän metalleja sisältäviä populaatio II tähtiä. Tähtienvälistä kaasua niissä on hyvin vähän, joten uusien tähtien muodostumista ei juurikaan tapahdu. Joukon ikä saadaan määritettyä HR-diagrammin käännöspisteen avulla.

Pallomaisten joukkojen etäisyys voidaan määrittää RR Lyrae -tähtien periodi-luminositeetti -relaation avulla. Keskimääräinen etäisyys on 20 000 – 30 000 valovuotta (lyr). Linnunradasta on havaittu noin 150 pallomaista joukkoa. Ne kiertävät galaksimme keskustaa ellipsiradoilla kiertoajan ollessa tyypillisesti noin sata miljoonaa vuotta. Pallomaisia tähtijoukkoja on havaittu myös muiden galaksien ympärillä. Galaksista irrallaan olevia joukkoja on havaittu vain muutamia. Ne ovat gravitaation aiheuttamista vuorovaikutuksista johtuen erkautuneet alkuperäisestä galaksista.

Linnunradan pallomaisten tähtijoukkojen keskimääräinen massa on noin 2×10⁵ M_⊙. Havainnot viittaavat siihen, että galakseista poiketen pallomaisilla tähtijoukoilla ei ole ympärillään pimeän aineen haloa. Sellainen on kuitenkin voinut aikoinaan olla, mutta Linnunradan gravitaation aiheuttamat voimat ovat heittäneet pimeän aineen ”taivaan tuuliin”.

Pallomaiset tähtijoukot luokitellaan kahteentoista luokkaan (I – XII) keskusalueen tähtitiheyden perusteella (Shapley–Sawyer Concentration Class). Mitä pienempi luokitteluluku sitä tiiviimmin tähdet ovat keskittyneet keskusalueelle. M13 kuuluu luokkaan V.

Pallomaisten tähtijoukkojen keskimääräinen absoluuttinen magnitudi on M_V ≈ –7 mag. Niiden kokoa kuvaa kolme säteen arvoa

• core radius: säde, jossa pintakirkkaus on puolet keskusosan pintakirkkaudesta
• half light radius: säteen sisäpuolella oleva kirkkaus on puolet joukon kirkkaudesta
• tidal radius: säde, jossa tiheys putoaa nollaan

Linnunradan pallomaisille joukoille keskimääräiset arvot ovat noin 1,5 pc, 10 pc ja 50 pc.

Massa viriaaliteoreeman avulla

Viriaaliteoreemaa hyödynnetään mm. tähtien rakenteen tutkimuksissa, ellipsigalaksien ja galaksijoukkojen massojen määrityksessä. Esimerkiksi galaksijoukkojen pimeän aineen massan määrää voidaan mitata teoreeman avulla. Tässä artikkelissa viriaaliteoreemaa käytetään pallomaisen tähtijoukon massan arviointiin.

Viriaaliteoreemaa sovellettaessa tärkeä oletus on, että systeemin hiukkaset ovat tasapainossa gravitaation suhteen. Systeemi voi sisältää ihan oikeita hiukkasia, siis atomeja, kuten tähtien tapauksessa. Galakseissa, tai pallomaisissa joukoissa, hiukkaset ovat yksittäisiä tähtiä. Galaksijoukoissa hiukkaset ovat yksittäisiä galakseja. Pallomaisten tähtijoukkojen kohdalla tasapaino on perusteltu, koska kyseessä on vanha pallosymmetrinen systeemi. Sillä on ollut riittävästi aikaa asettua tasapainotilaan.

Epärelativistinen viriaaliteoreema kaikessa yksinkertaisuudessaan on

 

jossa <K> ja <P> ovat systeemin keskimääräinen liike- ja potentiaalienergia.

Jotta teoreema ei vaikuttaisi aivan stetsonista vetäistyltä, tarkastellaan esimerkkinä yksinkertaista tilannetta, jossa satelliitti (m) kiertää maapalloa (M) ympyräradalla etäisyydellä r. Gravitaation aiheuttama voima ja normaalikiihtyvyys ovat

 

Newtonin 2. laista

saadaan

Kerrotaan yhtälön molemmat puolet termillä r/2, jolloin saadaan

 

Huomataan, että yhtälön vasemmalla puolella on puolet potentiaalienergiasta ja oikealla puolella liike-energia. Ollaan saatu viriaaliteoreeman mukainen tulos. Erityisen mielenkiintoista on, että viriaaliteoreemasta saadaan johdettua hiukkassysteemin, tässä tapauksessa pallomaisen tähtijoukon, viriaalimassa.

Pallomaisen tähtijoukon tähdet kiertävät kukin omalla radallaan ja nopeudellaan v_i. Sen keskimääräinen liike-energia on

 

jossa M on kokonaismassa ja

tähtien keskimääräinen nopeus. Nopeus saadaan mitattua kohteen spekristä Doppler-siirtymän avulla. Havainnoista saadaan kuitenkin mitattua vain näkösäteen suuntainen nopeuskomponentti

On kuitenkin perusteltua olettaa, että pallomaisissa tähtijoukoissa tähtien nopeudet ovat jakautuneet isotrooppisesti, eli nopeuskomponentit ovat samoja kaikissa suunnissa, joten

Tähtien nopeudet ovat jakautuneet normaalijakauman mukaisesti. Keskimääräisen nopeuden ja nopeushajonnan s välillä on voimassa

Nyt joukon keskimääräinen liike-energia on

 

Pallomaisen tähtijoukon keskimääräinen potentiaalienergia on

 

jossa M on kokonaismassa, R säde ja a geometriasta riippuva vakio.

Nyt on lausekkeet keskimääräiselle liike- ja potentiaalienergialle, joten viriaaliteoreeman mukaisesti saadaan

 

Tästä saadaan massalle lauseke

 

Massan laskemiseksi täytyy siis tietää pallomaisen joukon nopeushajonta s ja säde R. Nopeushajonta saadaan arvioitua Faber-Jackson -relaation avulla. Enempi tai vähempi pallosymmetristen tähtijärjestelmien, erityisesti ellipsigalaksien, on havaittu noudattavan FJ-relaatiota. Relaation mukaan systeemin kirkkaus ja nopeushajonta riippuvat toisistaan. Käytetään nopeushajonnan arviointiin relaatiota

Relaatio vastaa spiraaligalaksien Tully-Fisher -relaatiota, jossa spiraaligalaksia kiertävän kohteen nopeus on verrannollinen galaksin kirkkauteen. On kuitenkin syytä huomauttaa, että FJ-relaation hajonta kasvaa erityisesti suurempien magnitudien kohdalla, kuten pallomaisten tähtijoukkojen kohdalla.

Havainnot

Tähtitornilla Jouni Raunio kuvasi pallomaista tähtijoukkoa M13 käyttäen Baaderin B-kaistan suodatinta. Kaukoputkena oli EdgeHD 1100 + 0,7x Reducer ja ccd-kamerana SX-H674. Kalibraatiokuvina otettiin bias- ja flat-kuvat. Kuvien kalibrointi tehtiin AstroImageJ-ohjelmalla. Kohteen yksittäisten kuvien valotusaika oli 30 s, joita otettiin 11 kappaletta. Kalibroidut kuvat pinottiin yhdeksi kuvaksi, joten kokonaisvalotusaika oli 330 s. Fotometrinen kalibrointi tehtiin kuvakentän tähtien avulla käyttäen USNO-katalogia. Fotometria mitattiin APT-ohjelmistolla (Aperture Photometry Tool). Kuvakentän pikseliskaala on 0,96 ”/pix.

Pallomainen tähtijoukko M13 B-kaistan suodattimella kuvattuna. Kuvaan on merkitty apertuuri 120 pix. ©Jouni Raunio.

Kuvakentästä mitattiin neljän vertailutähden instrumentaalimagnitudit. Niistä saatiin määritettyä fotometrinen nollapiste, jonka keskiarvoksi saatiin

jossa virheraja kuvaa keskihajontaa. Kohteen näennäinen magnitudi laskettiin nollapisteen avulla. Fotometriamittauksessa käytettiin apertuuria 120 pix.

Pallomaisen tähtijoukon M13 B-kaistan näennäiseksi magnitudiksi saatiin

Kirjallisuudesta saatu näennäinen magnitudi B-kaistalla on

Absoluuttinen magnitudi M_B voidaan laskea, kun kohteen näennäinen magnitudi ja etäisyys d tiedetään

 

Sijoitetaan yhtälöön havainnoista saatu näennäisen magnitudin arvo ja kirjallisuudesta saatu kohteen etäisyys d = 6,8 kpc. Pallomaisen tähtijoukon M13 B-kaistan absoluuttiseksi magnitudiksi saadaan

Galaktisen ekstinktion vaikutusta ei ole otettu huomioon, koska sen vaikutus (<0,1 mag) ei ole merkittävä.

Arvioidaan seuraavaksi pallomaisen tähtijoukon nopeushajonta FJ-relaatiosta. Relaatiosta saatu nopeushajonta on

Tätä lukua tuijotettaessa on hyvä pitää mielessä, että himmeämmillä kohteilla hajonta on kohtalaisen suuri. Suuruusluokaltaan nopeushajonta on kuitenkin riittävän tarkka.

Jotta massa saadaan laskettua, tarvitaan vielä arvio kohteen todelliselle säteelle. Apertuurin (120 pix) ja pikseliskaalan avulla saadaan laskettua säteen kulmakoko

kaarisekuntia. 

 

Kun etäisyys tiedetään, saadaan kyseistä sädettä vastaava fysikaalinen koko R laskettua

Nyt on kaikki tarvittava kasassa viriaalimassan arvioimiseksi. Käytetään vakiona arvoa a = 0,5. Sijoitetaan lukuarvot yhtälöön

 

ja skaalataan auringonmassoiksi. Pallomaisen tähtijoukon M13 massaksi saadaan

 

On perusteltua olettaa, että saatu massan arvo on todellista massaa pienempi. Tulos on suuruusluokaltaan yhteneväinen kirjallisuusarvon kanssa