Ajallista asiaa

Tomi Hyvönen – Perustuu tositapahtumiin. Olipa kerran kaukaisessa galaksissa Galaktisen Suurneuvoston kokous. Suurneuvosto oli kokoontunut tekemään huipputärkeän päätöksen kampaviinerien galaktisesta direktiivistä. Pitkien ja vaikeiden neuvottelujen jälkeen lopullinen asiakirja oli saatu hyväksymistä vaille valmiiksi ja asiakirjan tuli olla juuri ennen kokouksen alkua Suurneuvoston pöydällä kaikkien jäsenten allekirjoitettavana.

Asialla oli kiire, koska täydellisiä kampaviinereitä odotettiin malttamattomana läpi koko galaksin. Kuinka ollakaan, Suurneuvoston suurvisiiri oli kaikessa kiireessä unohtanut tuoda asiakirjan kokoukseen. Ei auttanut kokoustelijoilla muu kuin lyödä viisaat ulokkeensa yhteen ja pohtia ratkaisua. No Bena sen siinä keksi ihan viime metreillä ja veti ässän hihasta: Haetaan asiakirja ja päivätään allekirjoitus juuri ennen kokouksen alkua. Päätettiin vedota siihen, että suppean suhteellisuusteorian mukaan aika riippuu havaitsijasta ja sopivasti liikkuvan havaitsijan mukaan asiakirja on allekirjoitettu juuri ennen kokouksen alkua.

Lopulta asiakirja allekirjoitettiin 5 tuntia kokouksen alkamisen jälkeen. Kaikki olivat iloisia, taputtivat pieniä karvaisia ulokkeitaan ja ylistivät sankari-Benaa! Suurneuvoston jäsenet uskoivat vakaasti, että ylin galaktinen taho, TaivaallisiaAsioitaPohdiskelevaPäättäväAnalysoivaRatkaisevaAlaosasto, hyväksyy menettelyn ja kampaviinerit saadaan galaktiseen jakeluun.

 

Hyväksytäänkö Galaktisen Suurneuvoston menettely?

Tarkastellaan asiaa suppean suhteellisuusteorian lähtökohdista. Kolmiulotteisessa Euclidisessa avaruudessa kahden pisteen välinen etäisyys on tuttu Dd² = Dx² + Dy² + Dz². Aika-avaruudessa kahden tapahtuman välimatka, intervalli, Ds on

Ds² = c²Dt² - (Dx² + Dy² + Dz²)

Kirjallisuudessa esiintyy molempia signatuureja (+ - - -) ja (- + + +). Merkittävää on vain se, että ajallisen ja avaruudellisen osan etumerkit ovat vastakkaiset.

Intervalli on aina sama kaikissa toistensa suhteen tasaisella nopeudella liikkuvissa koordinaatistoissa

Ds² = Ds´². Intervalli voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla riippuen siitä hallitseeko ajallinen vai avaruudellinen termi.

Ds² > 0: Ajan luonteinen. Kahden tapahtuman ajallinen etäisyys on suurempi kuin avaruudellinen etäisyys. Neuvoston suurvisiiri kopauttaa nuijalla pöytään ajanhetkinä t₁ ja t₂. Jokainen tasaisella nopeudella liikkuva havaitsija havaitsee nuijan kopautuksien ajallisen järjestyksen olevan sama, mutta niiden välinen aikaero on eri. On olemassa sellainen koordinaatisto, jossa kaksi tapahtumaa tapahtuu samassa paikassa.

Ds² = 0: Valon luonteinen. Aika- ja avaruustermin välinen erotus on täsmälleen nolla. Tällöin kahden tapahtuman välillä vain valon nopeudella kulkeva signaali ehtii kulkea tapahtumien välillä. Kosmologiassa tämä on erittäin tärkeä.

Ds² < 0: Avaruuden luonteinen. Tapahtumien avaruudellinen välimatka on suurempi kuin etäisyys, jonka valon nopeudella kulkeva signaali ehtii tapahtumien välisenä aikana kulkea. Avaruuden luonteiset tapahtumat eivät voi olla kausaalisessa yhteydessä. Havaitsijan liiketilasta riippuen kahden tapahtuman ajallinen järjestys voi muuttua. On olemassa koordinaatisto, jossa kaksi tapahtumaa tapahtuu täsmälleen samaan aikaan.

Ajan ja avaruuden luonteiset tilanteet vaihtavat paikkaa käytettäessä (- + + +) signatuuria.

Olkoon Suurneuvoston koordinaatistossa (t,x) seuraavat tapahtumat

A = (0,0): kokouksen alku

B = (5,0): asiakirjan allekirjoitus

Olkoon Suurneuvoston lepokoordinaatisto K. Voiko K-koordinaatiston suhteen nopeudella v liikkuvassa K´-koordinaatistossa B tapahtua juuri ennen A:ta?

Tapahtumien välinen aikaero K-koordinaatistossa on Dt = t_B – t_A = 5. Koska A ja B tapahtuvat samassa paikassa K-koordinaatiston suhteen, avaruudellinen välimatka on Dx = Dy = Dz = 0. Intervalli on

Ds² = c²Dt² - (Dx² + Dy² + Dz²)

Ds² = (3·10⁸)²· (5·3600)² – 0

Ds² > 0

Koska intervalli Ds² > 0, kyseessä on ajan luonteinen tapahtuma. Kun tapahtumat ovat ajan luonteisia yhdessä koordinaatistossa, ne ovat sitä myös kaikissa muissa koordinaatistoissa riippumatta koordinaatiston liiketilasta. Koska Suurneuvoston koordinaatistossa tapahtumat A ja B ovat ajanluonteisia, ei ole olemassa sellaista koordinaatistoa, jossa tapahtuma B tapahtuisi ennen tapahtumaa A.

Vaikka vastaus jo saatiinkin, voidaan kysymystä tarkastella huvin vuoksi vielä Lorentzin muunnoksen avulla.

Lorentzin muunnoksilla voidaan siirtyä toistensa suhteen nopeudella v liikkuvien koordinaatistojen välillä. K´-koordinaatisto liikkuu x-akselin suuntaisesti K-koordinaatiston suhteen nopeudella v. Ajan ja paikan Lorentz-muunnokset ovat

Kerroin gamma g on suhteellisuusteorian toiseksi kuuluisin yhtälö g = (1-v²/c²)^-1/2. Se kertoo, kuinka lähellä valon nopeutta kappale liikkuu. Jos nopeus on nolla, g = 1, joten g ≥ 1. Nopeuden kasvaessa myös g kasvaa.

Tapahtumien A ja B koordinaatit nopeudella v liikkuvassa K´-koordinaatistossa ovat

K´-koordinaatistossa tapahtumien koordinaatit ovat A´ = (0,0) ja B´ = (5g,-5gv).

Jotta tapahtumien järjestys muuttuisi K´-koordinaatistossa, täytyy olla t´_B < t´_A. Edellä lasketuista t´-koordinaateista saadaan

5g < 0

Kuten edeltä muistetaan, g on aina positiivinen, joten 5g ei voi koskaan olla negatiivinen. Ei ole olemassa sellaista K´-koordinaatistoa, joka havaitsisi Suurneuvoston koordinaatiston tapahtumien A ja B vaihtavan aikajärjestystä. Yhdessä koordinaatistossa ajan luonteiset tapahtumat ovat kaikissa koordinaatistoissa aina ajan luonteisia. Tämä on luonnollisesti loogista, sillä tapahtumat ovat kausaalisessa kontaktissa keskenään. Jos tapahtumien ajallinen järjestys muuttuisi, kausaliteetti olisi ongelmissa.

Tapahtumien ajallinen järjestys voi muuttua vain avaruuden luonteisilla tapahtumilla, jolloin ne eivät ole kausaalisessa kontaktissa keskenään.

Lopputulos: TaivaallisiaAsioitaPohdiskelevaPäättäväAnalysoivaRatkaisevaAlaosasto ei voi hyväksyä Benan hihasta vetämää ässää.

Epilogi: 

Kuten kautta koko galaksin on tunnettua, TaivaallisiaAsioitaPohdiskelevaPäättäväAnalysoivaRatkaisevaAlaosasto on reilu ja rehti, joten kaikkien herkkusuiden iloksi direktiivi saatiin lopulta herkullisesti hyväksyttyä.

Vaikka lopputulos saatiin kahteenkin kertaan, tarkastellaan vielä harrastuksen vuoksi, missä tapauksessa nopeudella v liikkuvassa K´-koordinaatistossa B tapahtuu ennen A:ta. Tapahtumien koordinaatit K-koordinaatistossa ovat nyt A(0,0) ja B(5,x_B). Jotta tapahtuma B tapahtuisi ennen tapahtumaa A, täytyy siis ehdon t´_B < t´_A toteutua. Oletetaan, että K´-koordinaatisto liikkuu x-akselin suuntaisesti. K´-koordinaatiston aikakoordinaatit t´_A ja t´_B saadaan Lorentzin muunnoksesta

Ehdosta t´_B < t´_A saadaan

Ratkaistaan yhtälöstä x_B (g ≥ 1).

Koska K´-koordinaatiston nopeus on aina pienempi kuin valon nopeus, saadaan tapahtuman B avaruudellisen etäisyyden x_B raja-arvo sijoittamalla v = c. Muutetaan tunnit sekunneiksi, jolloin saadaan

m

x_B > 36 au

Todellisuudessa K´-koordinaatiston nopeus on aina valon nopeutta pienempi, joten saatu etäisyys 36 au on alaraja. Lasketaan vielä intervalli Ds² käyttämällä saatua arvoa suurempaa etäisyyttä, esimerkiksi x_B = 37 au. Sijoitetaan intervallin yhtälöön Ds² = c²Dt² – Dx², jolloin saadaan Ds² < 0. Jotta tapahtuma B tapahtuisi tapahtumaa A aikaisemmin, täytyisi niiden avaruudellisen etäisyyden olla vähintään 36 au. Tällöin A ja B ovat avaruuden luonteisia, joten ne eivät ole voineet olla kausaalisessa kontaktissa.

 

 

Karkaako Kuu?

 Tomi Hyvönen

Aina silloin tällöin tulee elämän kanssamatkustajien kanssa puheeksi Kuun etääntyminen ja mahdollinen karkaaminen Maan läheisyydestä. Apollo-astronauttien Kuuhun asentamien lasersäteitä heijastavien prismojen avulla pystytään mittaamaan Kuun etääntyvän Maasta 3,8 cm vuodessa. Karkaako kaunis Kuumme lopulta avaruuden pimeyteen? Miten me sitten lurittelemme kuutamosonaatteja lajitovereillemme, jos Kuu on vain urbaani legenda.

Erästä entistä turkulaista satamajätkää mukaillen: tarttee fundeerata. Lasketaan arviot Kuun etääntymisnopeudelle, loppusijoituspaikalle ja tähän kuluvalle ajalle.

 

Kuva © Kari A. Kuure

 

Kuun etääntymisnopeus

Radallaan rullaava Kuu kohdistaa Maahan gravitaation, joka aiheuttaa vuorovesipullistumat maapallon vastakkaisille puolille. Tämä ilmiö on tuttu erityisesti meriveden liikkeistä. Maan pyörähdysaika akselinsa ympäri (1 vrk) on paljon pienempi kuin Kuun kiertoaika Maan ympäri (27,3 vrk). Tästä johtuen Maan kuunpuoleinen vuorovesipullistuma on edellä Maan ja Kuun keskipisteistä piirrettyyn linjaan nähden (kts. kuva alla). Kuun painovoima kohdistuu Kuuta lähempänä olevaan pullistumaan siten, että Kuu pyrkii vetämään pullistumaa Maan pyörimisliikkeen suhteen vastakkaiseen suuntaan. Tästä aiheutuva kitka hidastaa Maan pyörimistä ja toisaalta Kuu kokee kiihtyvyyden kasvun, joka kasvattaa Kuun pyörimismäärää.

 Kaaviollinen piirros Maa–Kuu -järjestelmästä. Vuorovesipullistuma Maassa on esitetty harmaana.

Systeemin, johon ei vaikuta ulkoisia voimia, kokonaispyörimismäärä on vakio. Oletetaan, että Maa–Kuu -systeemiin ei vaikuta merkittäviä ulkoisia voimia. Systeemin kokonaispyörimismäärä on Maan pyörimisliikkeen L_maa ja Kuun rataliikkeen L_kuu summa

Kun Maan pyöriminen hidastuu, sen pyörimismäärä pienenee. Koska L_kok on vakio, täytyy Kuun pyörimismäärän kasvaa. Kuun pyörimismäärä kasvaa, kun sen radan säde kasvaa.

Lasketaan arvio Kuun vuosittaiselle etääntymiselle käyttäen lukion fysiikasta tuttuja käsitteitä. Taitaa tosin olla, että nykyisin pyörimisliike on lukion kursseista pyörähdellyt pois, mutta vanhemmista lukion fysiikan kirjoista ainakin löytyy.

Kuten edellä mainittiin, Maa–Kuu -systeemin kokonaispyörimismäärä on Maan pyörimismäärän ja Kuun rataliikkeen pyörimismäärän summa.

Maan pyörimismäärä on maapallon hitausmomentin I_maa ja pyörimisliikkeen kulmanopeuden w tulo

Oletetaan Maa palloksi, jota se tietysti varsin suurella tarkkuudella onkin. Pallon hitausmomentti on

I = 2/5MR², jossa M ja R ovat pallon massa ja säde. Maan pyörimisliikkeen kulmanopeus w saadaan jakamalla yhteen täyteen kierrokseen kulunut aika 1 vrk, w = 2p / 24·60·60 s = 7,3·10^-5 rad/s.

Kuun rataliikkeen pyörimismäärä on

jossa v_kuu ja r₀ ovat Kuun ratavauhti ja radan keskimääräinen säde. Ympyräliikkeen ratavauhti saadaan ratkaistua Newtonin 2. lain yhtälöstä F_n = M_kuua_n normaalivoiman ja -kiihtyvyyden avulla.

Sijoittamalla painovoiman ja normaalikiihtyvyyden lausekkeet yhtälöön saadaan

Ratkaistaan tästä Kuun ratavauhti

Sijoitetaan ratavauhti Kuun pyörimismäärän yhtälöön, jolloin saadaan

Nyt on tiedossa Maan ja Kuun pyörimismäärät L_maa ja L_kuu. Maan pyörimismäärän yhtälöstä nähdään, että Maan pyörimisliikkeen hidastuessa (w pienenee) pyörimismäärä pienenee. Jotta Maa–Kuu -systeemin pyörimismäärä on vakio, täytyy Kuun pyörimismäärän kasvaa. Kuun pyörimismäärän yhtälöstä nähdään, että pyörimismäärän kasvaessa sen radan säde kasvaa. Kuun täytyy siis etääntyä Maasta.

Koska Maan vuorovesipullistumat ovat edellä Maa–Kuu -linjasta, Maahan kohdistuu vääntömomentti T. Newtonin 2. lain mukaan etenemisliikkeessä olevaan kappaleeseen kohdistuva voima aiheuttaa kappaleen liikemäärän muutoksen. Vastaavasti pyörimisliikkeessä olevaan kappaleeseen kohdistuva vääntömomentti aiheuttaa pyörimismäärän muutoksen

T = dL / dt

Sijoitetaan vääntömomentin yhtälöön edellä ollut Maan pyörimismäärä ja oletetaan, että maapallon hitausmomentti

 I_maa  

ei muutu merkittävästi. Saadaan

Koska vuorovesipullistumaan kohdistuva vääntömomentti hidastaa Maan pyörimistä, pyörimismäärä pienenee (siksi negatiivinen).

Kokonaispyörimismäärä säilyy, joten Kuun pyörimismäärä kasvaa vastaavasti  

dL_kuu / dt > 0. 

Differentioidaan edellä saatu Kuun pyörimismäärän yhtälö, jolloin saadaan

Yhtälössä dr0 / dt on Kuun radan säteen muutosnopeus. Se kertoo, kuinka nopeasti Kuu etääntyy Maasta. Ratkaistaan yhtälö sen suhteen, jolloin saadaan

Jotta arvio Kuun etääntymisnopeudelle voidaan laskea, tarvitaan vääntömomentti T. Siihen tarvittava yhtälö otetaan kirjallisuudesta lukion kirjojen ulkopuolelta.

jossa k2 on Maan materiaalin muokkautuvuutta kuvaava luku ja kulma d on viivekulma (tyypillisesti muutamia asteita). Maan ja Kuun massat, Kuun radan keskimääräinen säde ja muut tarvittavat vakiot saadaan kirjallisuudesta. Vääntömomentin lausekkeessa olevat parametrit riippuvat Maan ominaisuuksista, mutta käytetään kirjallisuudesta otettuja arvoja k2 ≈ 0,3 ja sin(2d) ≈ 0,1.

Nyt on tiedossa kaikki tarpeellinen Kuun etääntymisnopeuden dr0 / dt laskemiseksi. Muistetaan, että lasku on approksimaatio ja tarkka arvo riippuu mm. Maan geofysikaalisista ominaisuuksista. Nämä mielessä pitäen rohkeasti tulta päin ja arvoa laskemaan!

Sijoitetaan numeroarvot yhtälöön ja annetaan laskimen tehdä työnsä. Saadaan

Muutetaan saatu arvo yksikköön cm/vuosi. Vuodessa on 31 536 000 sekuntia, joten

Tulos on varsin hyvin sopusoinnussa mittaustulosten kanssa! Joskus osuu, kun tarpeeks sohii – sanoi Raipe, kun luukulla seisoi (vanha tamperelainen sananlasku).



Kuun loppusijoituspaikka

Kuun pakomatka päättyy, kun Maan pyörimisnopeus on sama kuin Kuun kiertonopeus. Silloin Maan pyöriminen on vuorovesilukkiutunut Kuun kiertoajan kanssa. Vuorovesipullistumat ovat samassa linjassa Maan ja Kuun keskipisteitä yhdistävän linjan kanssa, jolloin Maahan kohdistuva vääntömomentti T = 0. Kuusta katsottuna Maasta näkyy aina sama puoli vastaavalla tavalla kuin Kuu näyttää meille aina saman puolensa.

Lukkiutumisehto on, että Maan pyörähdysaika akselinsa ympäri on yhtä suuri kuin Kuun kiertoaika Maan ympäri 

P_maa = P_kuu. 

Kirjoitetaan yhtälöt molemmille kiertoajoille.

Kuun yhteen kierrokseen s = 2pr ratanopeudella v_kuu kuluu aika P_kuu = s/v_kuu . Ratanopeuden lauseke johdettiin edellä, joten kiertoaika on

Maan pyörähdysaika on pyörimisnopeuden w avulla kirjoitettuna

Nyt lukkiutumisehdosta P_maa = P_kuu saadaan

 

Lukkiutumisehdon mukainen Maan pyörimisen kulmanopeus on

Yhtälössä r on Kuun etäisyys lukkiutumishetkellä, joka halutaan laskea.

Kokonaispyörimismäärä tällä hetkellä on

ja lukkiutumishetkellä

Sijoitetaan tähän lukkiutumisehdosta saatu Maan kulmanopeus wluk

Systeemin kokonaispyörimismäärä on edelleen vakio, joten L_kok,nyt = L_kok,luk. Tästä saadaan yhtälö, josta Kuun etäisyys r lukkiutumishetkellä voidaan ratkaista.

Ratkaistaan yhtälö numeerisesti. Kuun etäisyydeksi lukkiutumishetkellä saadaan r ≈ 6·10⁸ m = 1,5r₀, siis noin 600 000 km nykyinen keskietäisyyden ollessa noin 384 000 km.

Kuu ei siis päädy harhailemaan avaruuden pimeyteen. Täysikuu toki näyttäisi taivaalla hieman nykyistä pienemmältä. Täysikuun kulmaläpimitta olisi

Lasketaan vielä Maan vuorokauden pituus. Maan pyörähdysaika on sama kuin Kuun kiertoaika

Sijoitetaan tähän lukuarvot, jolloin Maan pyörähdysajaksi saadaan

P_maa ≈ 4,6 ·10⁶ s ≈ 50 vrk

Vuorokausi on noin 1,5 kertaa pitempi kuin nykyinen kuukausi.

Loppusijoitukseen kuluva aika

Kuu ei siis karkaa Maan kiertoradalta minnekään. Se siirtyy hiljalleen kauemmas, mutta lopulta etääntyminen pysähtyy. Lasketaan vielä iloiseksi lopuksi, kuinka kauan vuorovesilukkiutumiseen kuluu aikaa. Arvio saadaan laskettua helposti, kun muistetaan, että Kuun etääntymisnopeus on

Dr/Dt ≈ 4·10^-2 m/vuosi 

ja oletetaan etääntymisnopeuden olevan vakio. Todellisuudessa etääntyminen hidastuu Kuun etäisyyden kasvaessa.

Etäisyyden muutos nykyhetken ja lukkiutumishetken välisenä aikana on

Dr ≈ r_luk – r₀ ≈ 2·10⁸ m.  

Tästä saadaan lukkiutumiseen kuluvaksi ajaksi

Olettaen, että etääntymisnopeus säilyy vakiona, lukkiutumisen saavuttamiseen kuluu 5 miljardia vuotta. Tässä aikaskaalassa Auringon loppu alkaa olla lähellä. Maapallo on muuttunut elinkelvottomaksi ja odottelee sitä kaunista päivää, jolloin punaiseksi jättiläiseksi laajeneva Aurinko nielaisee planeettamme kaasukerroksensa kuumaan syleilyyn. Todellisuudessa Kuun etääntymisnopeus pienenee sen etääntyessä Maasta, joten lukkiutumiseen menee pidempi aika. Tarkempien laskujen mukaan aikaa kuluu kymmeniä miljardeja vuosia! Joka tapauksessa me, eikä kukaan jälkeläisemmekään, ole täällä lurittelemassa runoja vuorovesilukkiutuneelle Kuulle.

Karkaako Kuu? Ei karkaa, eikä pääse edes kovin kauaksi maapallon jäljellä olevan noin 5 miljardin vuoden aikana.