Kappaleen rata gravitaatiokentissä

Tomi Hyvönen ‒ Gravitaatio on maailmankaikkeutta ylläpitävä voima. Se pitää tähdet kasassa, planeetat kiertoradoilla ja galaksit koossa. Koko maailmankaikkeuden kohtalo on gravitaation hallitsema. Merkittävyydestään huolimatta gravitaation salaisuudet ovat edelleen hämärän peitossa. Miksi se on niin paljon heikompi kuin muut luonnon perusvuorovaikutukset?

Antiikin aikoina ajateltiin, että aineet kulkevat niille luonteenomaisille paikoilleen elementtien mukaisesti. Maaelementtiä olevat kappaleet tippuvat kohti maata. Keskiajalla Kuun liikkeitä ihmeteltäessä pohdittiin ajatusta, että kenties Kuun takana pienet enkelit räpyttelevät siipiään työntäen sitä edellään.

Ei löydetty enkeleitä, joten piti kehitellä parempia selityksiä. Englannissa 1660-luvulla alkemistin harrastaja Isaac Newton istuskeli, ainakin legendan mukaan, omenapuun alla Kuun liikettä tarkkaillen. Hän ajatteli, että omena ja Kuu tippuvat Maata kohti saman luonnonlain vaikutuksesta. Tästä innoittuneena hän kehitti gravitaatiolain, jossa kappaleet vetävät toisiaan puoleensa voiman riippuen massojen ja etäisyyden suhteesta.

Newtonin gravitaatiolaki on vuosisatojen aikana osoittautunut erittäin käyttökelpoiseksi. Sen avulla pyöritellään arjen askareita, lennetään Kuuhun, lasketaan planeettojen ratoja ja paljon muuta. Newton ajatteli gravitaation kappaleiden välisenä voimana. Vaikka Newtonin gravitaatio kuvasi kappaleiden liikkeitä hyvin tarkasti, oli siinä puutteita. Laki ei kertonut, miten voima välittyy kaukana olevien kappaleiden välillä.

Havaintojen tarkentuessa huomattiin, että Aurinkoa lähin planeetta Merkurius ei noudatakaan täsmälleen Newtonin lain mukaista rataa. Tarvittiin Newtonin lakia täydentävä gravitaatioteoria. Tämän tarjosi 1915 Albert Einsteinin yleinen suhteellisuusteoria. Se korjasi Newtonin teorian puutteita mm. selittämällä Merkuriuksen radan havaittu poikkeama, ennusti valon taipumisen tähden lähellä ja kuvasi laajenevan maailmankaikkeuden ominaisuuksia.

Yleinen suhteellisuusteoria ei kuvannut gravitaatiota voimana, vaan avaruuden kaareutumisena. Massa kaareuttaa aika-avaruutta ja kappale liikkuu suoraviivaisesti kaarevassa avaruudessa. Hyvin pian teorian julkaisun jälkeen yhtenä ratkaisuna saatiin, miten pallosymmetrinen pyörimätön kappale kaareuttaa aika-avaruutta ympärillään. Myöhemmin 1960-luvulla tällainen kohde tultiin tuntemaan nimellä pyörimätön musta aukko.

Tässä kirjoituksessa verrataan Newtonin gravitaatiolain ja yleisen suhteellisuusteorian mukaisia ratoja kappaleen kiertoradoille. Katsotaan, miten ja missä tapauksissa suhteellisuusteorian antamat tulokset eroavat Newtonin gravitaatiolaista.

Voit lukea artikkelin loppuosan tästä linkistä (pdf)!

 

Mitä musta aukko tekisi Aurinkokunnalle?

 Tomi Hyvönen — Mustat aukot ovat kiehtoneet ihmismieltä satojen vuosien ajan. 1700-luvulla pohdittiin Newtonin lakien mukaisesti mustien tähtien olemassaoloa. Voisiko tähden gravitaatio (painovoima) olla niin suuri, että pinnalta lähtevä valo joutuisi palaamaan takaisin tähteen. Tällöin tähti olisi kauempana olevan havaitsijan mielestä pimeä.

Vuonna 1915 yleisen suhteellisuusteorian myötä saatiin matemaattinen teoria mustien aukkojen kuvailemiseen. Tällöin mustan aukon (termi musta aukko tuli käyttöön vasta 1960-luvulla) ajateltiin olevan suhteellisuusteorian matemaattinen tulos, mutta ei todellinen kohde.

Tilanne muuttui 1960-luvulla havaintotekniikan kehittymisen ansiosta. Mustaa kissaa on vaikea havaita pimeässä hiilikellarissa. Vastaavasti mustaa aukkoa on hyvin vaikea havaita pimeän avaruuden keskeltä. Tarvitaan jotakin, johon musta aukko gravitaatiolla vaikuttaa. Kaksoistähtijärjestelmät, jossa toisena komponenttina on musta aukko, ovat erinomaisia taivaallisia laboratorioita mustien aukkojen havaitsemiseen. 

ESO:n Digital Sky Survey -hankkeen ottama optinen kuva Cyg X-1:n ympärillä olevasta 60 x 30 kaariminuutin laajuisesta taivaan alueesta. Kuvan siniset pisteet ovat kirkkaita nuoria tähtiä. Yhdellä niistä, superjättiläistähdellä HDE 226868:lla, on näkymätön musta aukko -kumppani. Tähdestä mustaan aukkoon putoavan aineen muodostama kertymäkiekko emittoi voimakasta röntgensäteilyä. Lähikuva on ROSAT observatorion ottama kuva röntgenlähteestä Cyg X-1. Kuva ESO.

Tavallisesta tähdestä, joka on syystä tai toisesta joutunut mustan aukon vaikutuspiiriin, virtaava kaasu muodostaa kertymäkiekon. Kiekossa kaasu kuumenee voimakkaasti ja lähettää röntgensäteilyä. 1960-luvulla ilmakehän ulkopuolella olevalla röntgenilmaisimella havaittiin kohteita, jotka säteilevät voimakkaasti tällä aallonpituusalueella. Tunnetuin näistä on Cyg-X1 Joutsenen tähdistössä. Se on kaksoistähtijärjestelmä, jossa OB-luokan ylijättiläinen ja kompakti kohde kiertävät toisiaan. Kompaktin kohteen massa on noin 15 M_☉ (M_☉ = Auringon massa), joten se ylittää moninkertaisesti neutronitähden massan ylärajan. Tunnetun fysiikan mukaan se ei voi olla mikään muu kuin musta aukko.

Linnunradassa tähden massaisia mustia aukkoja ja kandidaatteja on havaittu muutamia kymmeniä. Massat vaihtelevat 5 – 30 M_☉ välillä. Keskimääräinen mustan aukon massa on noin 10 M_☉.

Mustat aukot ovat muodostuneet massiivisten tähtien luhistuessa fuusiokelpoisen aineen loppuessa. Yksityiskohtainen syntymekanismi on aktiivisen tutkimuksen kohteena. Muodostumisensa jälkeen mustat aukot jatkavat olemassaoloa Linnunradassa ja kulkevat radallaan avaruuden pimeydessä. Jos niillä ei ole seuralaista, niiden havaitseminen on haastavaa. Ne paljastavat olemassaolonsa vain gravitaatiollaan, esimerkiksi gravitaatiolinssin tai kertymäkiekon avulla.  Syystäkin niitä kutsutaan kompakteiksi kohteiksi. Suuresta massasta huolimatta niiden koko on hyvin pieni. Mustan aukon tapahtumahorisontin [1] säde on

Näin ollen 10 M_☉ mustan aukon halkaisija on 60 km.

 

Mielenkiintoinen kysymys

Entä jos Linnunradassa kulkeva musta aukko päätyy törmäyskurssille Aurinkokunnan kanssa? Kysymys esitetään usein mustista aukoista puhuttaessa. Tähän kysymykseen liittyy monia muita kysymyksiä, joihin kaikkiin ei ole vastausta. Voimme kuitenkin laskea suuntaa antavan todennäköisyyden mustan aukon ja Aurinkokuntamme kohtaamiselle ja sille mitä silloin tapahtuisi.

Lasketaan aluksia arvio, kuinka paljon tähden massaisia mustia aukkoja on muodostunut Linnunradan olemassaolon noin kymmenen miljardin vuoden aikana. Arvio saadaan laskettua, kun tiedetään, kuinka paljon eri massaisia tähtiä muodostuu. Muodostuvien tähtien massajakaumaa kuvaa IMF (Initial Mass Function). Funktioita on useampia, mutta käytetään tässä perinteistä Salpeter IMF (1955) mallia. Funktio voidaan kirjoittaa potenssilakina

 

jossa x(m)dm on muodostuvien tähtien lukumäärä massavälillä m ja m + dm. A on normalisointikerroin ja α = 2,35. Funktio kuvaa syntyvän tähtipopulaation jakaumaa massavälillä 0,1 – 100 M_☉. Negatiivinen potenssi tarkoittaa, että mitä raskaampi tähti sitä vähemmän niitä muodostuu.

Tähden massan alaraja (0,1 M_☉) on tarkka vedyn fuusiosta [2] johtuen, mutta yläraja on epävarmempi. Massiivisimmat tähdet voivat olla parisen sataa M_☉, mutta käytetään tässä massan ylärajana m_ylä = 100 M_☉. Tähtien massaraja mustien aukkojen syntymiselle on toistaiseksi epävarma, mutta käytetään arviossa massarajaa m_BH > 20 M_☉.

Linnunrataan muodostuneiden tähtien kokonaismassa M on tähtien lukumäärä kerrottuna tähtien massalla                              

Linnunradan tähtien kokonaismassa on M = 10¹¹ M_☉. Sijoitetaan tämä edelliseen yhtälöön ja ratkaistaan vakio A

                     

Lasketaan arvio Linnunradan mustien aukkojen lukumäärälle

 

Musta aukko on massiivisen tähden viimeinen ja lopullinen muoto. Muodostuttuaan siinä ei tapahdu muutoksia muita kuin korkeintaan massa kasvaa aineen pudotessa sinne. Näin ollen Linnunradan pimeydessä vaeltaa noin 100 miljoonaa tähden massaista mustaa aukkoa odottamassa löytäjäänsä.

Lasketaan vielä mustien aukkojen lukumäärätiheys Linnunradassa. Oletetaan Linnunradan halkaisijan olevan 100 000 ly ja kiekon paksuus 1 000 ly. Tällöin Linnunradan tilavuus V ≈ 10¹³ ly³. Lukumäärätiheys on

Lukumäärätiheyttä on ehkä vaikea hahmottaa lasketussa muodossa. Se kuitenkin tarkoittaa sitä, että kuutiossa, jonka sivu on noin 50 ly, on keskimäärin yksi musta aukko.

 

Entä jos…

Vaikka mustan aukon lähempi tutkiminen voisi olla mielenkiintoista, erityisesti lähiohitus ei olisi erityisen toivottavaa. Riittävän läheltä kulkevan mustan aukon massa vaikuttaisi merkittävästi planeettojen ratoihin. Oletetaan, että musta aukko vaikuttaa merkittävästi planeetan rataan, kun sen gravitaatiovaikutus on 0,1 % Auringon gravitaatiosta. Lasketaan etäisyys r₂, jolla 10 M_☉ mustan aukon tulisi olla, jotta ko. häiriöraja saavutettaisiin. Koska Neptunus (massa m_N) on Aurinkokunnan uloin planeetta, r₁ = 30 au, käytetään sitä laskussa. Newtonin painovoimalaista saadaan

 

Karkean arvion mukaisesti 10 M_☉ mustan aukon tulisi olla noin 3 000 au:n etäisyydellä Auringoista, jotta sillä olisi merkittäviä vaikutuksia planeettojen ratoihin.                                                                                   

Lasketaan seuraavaksi arvio sille, kuinka usein Linnunradassa vaeltava musta aukko kohtaa Aurinkokuntamme. Kohtaamistaajuus voidaan arvioida yhtälöstä

Yhtälössä n on edellä laskettu mustien aukkojen lukumäärätiheys Linnunradassa. Aurinkokunnan törmäyspinta-ala s voidaan arvioida säteen r₂ = 3 000 au = 0,047 ly avulla ja n on Aurinkokunnan lähialueella olevien tähtien keskimääräinen suhteellinen nopeus v ≈ 20 km/s ≈ 7·10^-5 ly/a. Kohtaamistaajuus on

Laskemalla törmäystaajuuden käänteisluku saadaan, kuinka usein keskimäärin musta aukko ohittaa Aurinkokunnan 3 000 au:n etäisyydeltä.

                                                                                   

 Musta aukko kohtaa aurinkokunnan keskimäärin kerran 200 miljardissa vuodessa. Kun muistetaan, että maailmankaikkeuden ikä on noin 13 miljardia vuotta, on siis hyvin epätodennäköistä, että tuomiopäivän pasuunat soivat mustan aukon vuoksi. 

 

Simulaatio

Tehdään N-kappaleen simulaatiota 10 M_☉ mustan aukon ohittaessa Aurinkokunnan eri etäisyyksillä. Simulaatiot on tehty Python+Rebound -koodilla. Simulaation tarkastuksessa käytettiin energian säilymistä.

Mustan aukon suhteellisella nopeudella on myös merkitystä Aurinkokunnan kohtaloon. Kuvissa 1a ja 1b musta aukko lähtee 100 au etäisyydeltä ja liikkuu planeettojen ratatason suuntaisesti kohti Aurinkokuntaa nopeudella 16 au/a (noin 76 km/s) ja 8 au/a noin 38 km/s). Alussa mustan aukon kohtisuora etäisyys planeettojen ratatasoon nähden on 5 au.

Ensimmäisessä tapauksessa, kuva 1a, Maa kiertorata muuttuisi nykyistä soikeammaksi. Radan apheli olisi noin 0,7 au etäisyydellä vastaten suunnilleen nykyisen Venuksen radan etäisyyttä Auringosta. Radan muutoksella olisi merkittäviä vaikutuksia Maan elinolosuhteisiin.

Mustan aukon ohittaessa Aurinkokunnan lähempää, Maa irtautuisi radaltaan ja poistuisi Aurinkokunnasta.  

Kuvan 1 simulaatioissa musta aukko lähtee etäisyydeltä 100 au ja kulkee x-akselin suuntaisesti kohti Aurinkokuntaa nopeudella 16 au/a (noin 80 km/s) siten, että kohtisuora etäisyys planeettojen ratatasosta on 5 au. Ohituksen jälkeen Maa on joutunut elliptiselle radalle, jossa apheli on noin nykyisen Marsin radan kohdalla ja periheli suunnilleen Venuksen radan tuntumassa. Ratamuutoksen seurauksena Maan olosuhteet muuttuvat erittäin paljon. Maa ja muut kiviplaneetat jäävät Aurinkoa kiertävälle radalle, mutta uloimmat kaasujättiläiset irtoavat Auringon gravitaatiokentästä.

 

Tässä toisessa simulaatiossa musta aukko liikkuu samanlaisella radalla kuin aikaisemmassa tilanteessa, mutta nopeudella 8 au/a (noin 40 km/s). Nyt Maa irtoaa Auringon gravitaatiokentästä jatkaen matkaansa tähtienväliseen avaruuteen. Auringon kiertoradalle jäävät vain Merkurius ja Venus muiden planeettojen irrotessa Auringon vaikutuksesta. Sanomattakin on selvää, että tämä olisi hyvin epämiellyttävä kohtalo Maan elämälle.

Viittaukset

[1] Tapahtumahorisontti on matemaattinen raja, jonka sisäpuolelta valo ei pääse poistumaan mustasta aukosta. Fyysistä vastinetta tapahtumahorisontille ei ole!

[2] Vedyn fuusion käynnistyminen vaatii riittävän korkean paineen ja lämpötilan. Alle 0,1 M_☉massaisissa taivaankappaleissa nämä vaatimukset eivät toteudu, jolloin tähteä siitä ei synny. Rajaa vähämassaisempia kohteita kutsutaan ruskeiksi kääpiöiksi.

[..] Tekstissä käytetyt kreikkalaiset symbolikirjaimet ovat: a = alfa, s = sigma, n = nyy ja x = ksii.