Tomi
Hyvönen – Perustuu tositapahtumiin. Olipa kerran kaukaisessa
galaksissa Galaktisen Suurneuvoston kokous. Suurneuvosto oli
kokoontunut tekemään huipputärkeän päätöksen kampaviinerien
galaktisesta direktiivistä. Pitkien ja vaikeiden neuvottelujen
jälkeen lopullinen asiakirja oli saatu hyväksymistä vaille
valmiiksi ja asiakirjan tuli olla juuri ennen kokouksen alkua
Suurneuvoston pöydällä kaikkien jäsenten allekirjoitettavana.
Asialla oli kiire, koska täydellisiä kampaviinereitä odotettiin malttamattomana läpi koko galaksin. Kuinka ollakaan, Suurneuvoston suurvisiiri oli kaikessa kiireessä unohtanut tuoda asiakirjan kokoukseen. Ei auttanut kokoustelijoilla muu kuin lyödä viisaat ulokkeensa yhteen ja pohtia ratkaisua. No Bena sen siinä keksi ihan viime metreillä ja veti ässän hihasta: Haetaan asiakirja ja päivätään allekirjoitus juuri ennen kokouksen alkua. Päätettiin vedota siihen, että suppean suhteellisuusteorian mukaan aika riippuu havaitsijasta ja sopivasti liikkuvan havaitsijan mukaan asiakirja on allekirjoitettu juuri ennen kokouksen alkua.
Lopulta asiakirja allekirjoitettiin 5 tuntia kokouksen alkamisen jälkeen. Kaikki olivat iloisia, taputtivat pieniä karvaisia ulokkeitaan ja ylistivät sankari-Benaa! Suurneuvoston jäsenet uskoivat vakaasti, että ylin galaktinen taho, TaivaallisiaAsioitaPohdiskelevaPäättäväAnalysoivaRatkaisevaAlaosasto, hyväksyy menettelyn ja kampaviinerit saadaan galaktiseen jakeluun.
Hyväksytäänkö Galaktisen Suurneuvoston menettely?
Tarkastellaan asiaa suppean suhteellisuusteorian lähtökohdista. Kolmiulotteisessa Euclidisessa avaruudessa kahden pisteen välinen etäisyys on tuttu Dd2 = Dx2 + Dy2 + Dz2. Aika-avaruudessa kahden tapahtuman välimatka, intervalli, Ds on
Ds2 = c2Dt2 - (Dx2 + Dy2 + Dz2)
Kirjallisuudessa esiintyy molempia signatuureja (+ - - -) ja (- + + +). Merkittävää on vain se, että ajallisen ja avaruudellisen osan etumerkit ovat vastakkaiset.
Intervalli on aina sama kaikissa toistensa suhteen tasaisella nopeudella liikkuvissa koordinaatistoissa
Ds2 = Ds´2. Intervalli voi olla positiivinen, negatiivinen tai nolla riippuen siitä hallitseeko ajallinen vai avaruudellinen termi.
Ds2 > 0: Ajan luonteinen. Kahden tapahtuman ajallinen etäisyys on suurempi kuin avaruudellinen etäisyys. Neuvoston suurvisiiri kopauttaa nuijalla pöytään ajanhetkinä t1 ja t2. Jokainen tasaisella nopeudella liikkuva havaitsija havaitsee nuijan kopautuksien ajallisen järjestyksen olevan sama, mutta niiden välinen aikaero on eri. On olemassa sellainen koordinaatisto, jossa kaksi tapahtumaa tapahtuu samassa paikassa.
Ds2 = 0: Valon luonteinen. Aika- ja avaruustermin välinen erotus on täsmälleen nolla. Tällöin kahden tapahtuman välillä vain valon nopeudella kulkeva signaali ehtii kulkea tapahtumien välillä. Kosmologiassa tämä on erittäin tärkeä.
Ds2 < 0: Avaruuden luonteinen. Tapahtumien avaruudellinen välimatka on suurempi kuin etäisyys, jonka valon nopeudella kulkeva signaali ehtii tapahtumien välisenä aikana kulkea. Avaruuden luonteiset tapahtumat eivät voi olla kausaalisessa yhteydessä. Havaitsijan liiketilasta riippuen kahden tapahtuman ajallinen järjestys voi muuttua. On olemassa koordinaatisto, jossa kaksi tapahtumaa tapahtuu täsmälleen samaan aikaan.
Ajan ja avaruuden luonteiset tilanteet vaihtavat paikkaa käytettäessä (- + + +) signatuuria.
Olkoon Suurneuvoston koordinaatistossa (t,x) seuraavat tapahtumat
A = (0,0): kokouksen alku
B = (5,0): asiakirjan allekirjoitus
Olkoon Suurneuvoston lepokoordinaatisto K. Voiko K-koordinaatiston suhteen nopeudella v liikkuvassa K´-koordinaatistossa B tapahtua juuri ennen A:ta?
Tapahtumien välinen aikaero K-koordinaatistossa on Dt = tB – tA = 5. Koska A ja B tapahtuvat samassa paikassa K-koordinaatiston suhteen, avaruudellinen välimatka on Dx = Dy = Dz = 0. Intervalli on
Ds2 = c2Dt2 - (Dx2 + Dy2 + Dz2)
Ds2 = (3·108)2· (5·3600)2 – 0
Ds2 > 0
Koska intervalli Ds2 > 0, kyseessä on ajan luonteinen tapahtuma. Kun tapahtumat ovat ajan luonteisia yhdessä koordinaatistossa, ne ovat sitä myös kaikissa muissa koordinaatistoissa riippumatta koordinaatiston liiketilasta. Koska Suurneuvoston koordinaatistossa tapahtumat A ja B ovat ajanluonteisia, ei ole olemassa sellaista koordinaatistoa, jossa tapahtuma B tapahtuisi ennen tapahtumaa A.
Vaikka vastaus jo saatiinkin, voidaan kysymystä tarkastella huvin vuoksi vielä Lorentzin muunnoksen avulla.
Lorentzin muunnoksilla voidaan siirtyä toistensa suhteen nopeudella v liikkuvien koordinaatistojen välillä. K´-koordinaatisto liikkuu x-akselin suuntaisesti K-koordinaatiston suhteen nopeudella v. Ajan ja paikan Lorentz-muunnokset ovat
Kerroin gamma g on suhteellisuusteorian toiseksi kuuluisin yhtälö g = (1-v2/c2)-1/2. Se kertoo, kuinka lähellä valon nopeutta kappale liikkuu. Jos nopeus on nolla, g = 1, joten g ≥ 1. Nopeuden kasvaessa myös g kasvaa.
Tapahtumien A ja B koordinaatit nopeudella v liikkuvassa K´-koordinaatistossa ovat
K´-koordinaatistossa tapahtumien koordinaatit ovat A´ = (0,0) ja B´ = (5g,-5gv).
Jotta tapahtumien järjestys muuttuisi K´-koordinaatistossa, täytyy olla t´B < t´A. Edellä lasketuista t´-koordinaateista saadaan
5g < 0
Kuten edeltä muistetaan, g on aina positiivinen, joten 5g ei voi koskaan olla negatiivinen. Ei ole olemassa sellaista K´-koordinaatistoa, joka havaitsisi Suurneuvoston koordinaatiston tapahtumien A ja B vaihtavan aikajärjestystä. Yhdessä koordinaatistossa ajan luonteiset tapahtumat ovat kaikissa koordinaatistoissa aina ajan luonteisia. Tämä on luonnollisesti loogista, sillä tapahtumat ovat kausaalisessa kontaktissa keskenään. Jos tapahtumien ajallinen järjestys muuttuisi, kausaliteetti olisi ongelmissa.
Tapahtumien ajallinen järjestys voi muuttua vain avaruuden luonteisilla tapahtumilla, jolloin ne eivät ole kausaalisessa kontaktissa keskenään.
Lopputulos: TaivaallisiaAsioitaPohdiskelevaPäättäväAnalysoivaRatkaisevaAlaosasto ei voi hyväksyä Benan hihasta vetämää ässää.
Epilogi:
Kuten kautta koko galaksin on tunnettua, TaivaallisiaAsioitaPohdiskelevaPäättäväAnalysoivaRatkaisevaAlaosasto on reilu ja rehti, joten kaikkien herkkusuiden iloksi direktiivi saatiin lopulta herkullisesti hyväksyttyä.
Vaikka lopputulos saatiin kahteenkin kertaan, tarkastellaan vielä harrastuksen vuoksi, missä tapauksessa nopeudella v liikkuvassa K´-koordinaatistossa B tapahtuu ennen A:ta. Tapahtumien koordinaatit K-koordinaatistossa ovat nyt A(0,0) ja B(5,xB). Jotta tapahtuma B tapahtuisi ennen tapahtumaa A, täytyy siis ehdon t´B < t´A toteutua. Oletetaan, että K´-koordinaatisto liikkuu x-akselin suuntaisesti. K´-koordinaatiston aikakoordinaatit t´A ja t´B saadaan Lorentzin muunnoksesta
Ehdosta t´B < t´A saadaan
Ratkaistaan yhtälöstä xB (g ≥ 1).
Koska K´-koordinaatiston nopeus on aina pienempi kuin valon nopeus, saadaan tapahtuman B avaruudellisen etäisyyden xB raja-arvo sijoittamalla v = c. Muutetaan tunnit sekunneiksi, jolloin saadaan
m
xB > 36 au
Todellisuudessa K´-koordinaatiston nopeus on aina valon nopeutta pienempi, joten saatu etäisyys 36 au on alaraja. Lasketaan vielä intervalli Ds2 käyttämällä saatua arvoa suurempaa etäisyyttä, esimerkiksi xB = 37 au. Sijoitetaan intervallin yhtälöön Ds2 = c2Dt2 – Dx2, jolloin saadaan Ds2 < 0. Jotta tapahtuma B tapahtuisi tapahtumaa A aikaisemmin, täytyisi niiden avaruudellisen etäisyyden olla vähintään 36 au. Tällöin A ja B ovat avaruuden luonteisia, joten ne eivät ole voineet olla kausaalisessa kontaktissa.