Miksi mustat aukot ovat väistämättömiä

Tomi Hyvönen

Tähden elinkaaren kannalta yksi mielenkiintoisimpia kysymyksiä on, miten tähden loiste loppuu. Tähden elinkaari on kamppailua kahden eri voiman, painovoiman ja paineen, välillä. Kumpi näistä kahdesta voimasta lopulta voittaa, määrää tähden lopullisen kohtalon. Tuleeko tähdestä valkoinen kääpiö, neutronitähti vai musta aukko.

Tähden elinkaari on tasapainoilua painovoiman ja sitä vastustavan voiman välillä. Silloin, kun gravitaatiota vastustava voima syystä tai toisesta pienenee, tapahtuu gravitaatioluhistuminen. Aina se ei ole lopullista, vaan sopeutumista uusiin olosuhteisiin. 

Taiteilijan näkemys magnetarista, joka on neutronitähden erityinen muoto. Magnetarin magneetikenttä on erittäin voimakas ja ne pyörivät itsensä ympäri satoja kertoja sekunnissa.Neutronitähdet ovat osa sitä kehitysketjua, joista massiivisesta tähdestä tulee musta aukko. Kuva Wikimedia Commons.

Auringon massainen tähti fuusioi ytimessään vetyä heliumiksi. Kaasun paineen aiheuttama voima on vastakkaissuuntainen kuin gravitaatio. Tähti on hydrostaattisessa tasapainossa. Vedyn ehtyessä painetta ylläpitävä energiantuotanto heikkenee, jolloin ydin alkaa luhistua ja kuumentua. Kun ytimen lämpötila on noussut riittävän korkeaksi, helium alkaa fuusioitua hiileksi. Paine kasvaa uudelleen ja ydin saavuttaa tasapainon. Tähti siirtyy uuteen vaiheeseen, jossa painetta ylläpitää heliumin fuusio.

Mikään fuusioreaktio ei kuitenkaan jatku ikuisesti. Heliumin ehtyessä ydin ei enää kykene tuottamaan riittävää painetta painovoimaa vastaan, ja se alkaa jälleen kutistua. Auringon massaisilla tähdillä puristuva heliumydin ei kuumene tarpeeksi, jotta raskaampien alkuaineiden fuusio käynnistyisi. Gravitaatiota vastustavan paineen puuttuessa ytimen tiheys kasvaa nopeasti. Kun aine on puristunut riittävän tiheäksi, kvanttimekaniikka alkaa hallita tapahtumia ja pysäyttää luhistumisen.

Kvanttimekaniikan mukaisesti kaikki ainehiukkaset eivät voi olla samassa energiatilassa, vaan hiukkaset asettuvat kuin pallot laatikkoon. Kun yksi kerros on täynnä, pitää pallot asettaa seuraavaan kerrokseen. Mitä ylempänä laatikossa pallot ovat, sitä suurempi on niiden energia. Vastaavasti korkeammalla energiatilalla olevilla hiukkasilla on riittävästi energiaa tuottaa gravitaatiota vastustava paine. Painetta kutsutaan elektronikaasun paineeksi. Kun tämä elektronikaasun paine kasvaa riittäväksi, ytimen luhistuminen pysähtyy. Tähti saavuttaa vakaan tilan, ja sen jäännöksestä tulee valkoinen kääpiö.

Elektronikaasun paine ei kuitenkaan aina riitä vastustamaan painovoimaa. Jos valkoisen kääpiön massa kasvaa esimerkiksi massan kertymisen seurauksena riittävän suureksi, tasapaino menetetään. Valkoisen kääpiön massan yläraja on noin 1,4 Auringon massaa (M_☉). Suuremmilla massoilla aine puristuu niin tiiviiksi, että elektronit ja protonit yhdistyvät muodostaen neutroneja. Lopputuloksena noin parin Auringon massainen tähden jäänne on puristunut vain parinkymmenen kilometrin kokoiseen tilavuuteen. Näin syntyy neutronitähti, jonka tiheys on käsittämättömän suuri, noin 10¹⁷ kg/m³.

Neutronitähdessä painovoimaa vastustava voima syntyy neutronikaasun paineesta. Neutronitähtiä muodostuu, kun riittävän massiivinen tähti (M > 8 M_☉) räjähtää supernovana. Mikäli neutronitähden massa ylittää ylärajan, joka on noin 2 – 3 M_☉, neutronikaasun paine ei enää kykene vastustamaan painovoimaa. Tällöin neutronitähti luhistuu mustaksi aukoksi.

Suhteellisuusteorian yhtälöistä saadaan hitaasti pyörivän tähden relativistiseksi hydrostaattisen tasapainon yhtälöksi (Tolman-Oppenheimer-Volkoff -yhtälö)

    

 

Kun paine on paljon pienempi kuin energiatiheys ja m(r) ≪ r (massa ilmaistuna pituusyksiköissä, kun G = c = 1), yhtälö palautuu Newtonin mukaiseen hydrostaattisen tasapainon yhtälöön

 

 

 

Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi tähteä, jonka tiheys on vakio koko säteen alueella, ρ₀. Tällöin tähden massa säteen funktiona on

 

 

 

Newtonin teorian mukaan paine säteen funktiona saadaan muodossa

 

 

ja tähden keskustan paineeksi saadaan

 

 

Sijoitetaan tähden massa

 

 

yhtälöön, saadaan

 

 

 

Newtonin teorian mukaan tähden keskustan paine on äärellinen kaikilla tiheyksillä ja säteillä. Tähti voi aina olla tasapainossa, mikäli keskustan paine on riittävän suuri.

Suhteellisuusteorian mukaan näin ei kuitenkaan ole. T-O-V -yhtälöstä voidaan ratkaista paine säteen funktiona (Karl Schwarzschild 1916b) ja saadaan

 

 

 

Nyt tähden keskustan paine on

 

 

 

Tämä palautuu Newtonin teorian mukaiseksi yhtälöksi, kun R >> M (esim. M_☉ = 1,5 km ja R_☉ = 700 000 km).

Yhtälöstä havaitaan, että suhteellisuusteorian mukaan keskustan paine on ääretön, kun

 

 

 

eli

 

 

Suhteellisuusteorian mukaan vakiotiheyksistä tähteä massaltaan

 

 

 

ei voi olla olemassa. Mikään paine ei ole riittävä pitämään tähteä kasassa, kun tähden massa ylittää raja-arvon. Vakiotiheyksisen tähden suurin massa on

 

 

Massan yläraja ei rajoitu vain vakiotiheyksisiin tähtimalleihin. Myös realistisemmissa tapauksissa, joissa tiheys pienenee ytimestä pintaa kohti, tähden massalla on yläraja. Kun tämä raja ylitetään, tasapainoa ei enää ole mahdollista ylläpitää, ja seuraa täydellinen painovoimaluhistuminen.

Suhteellisuusteorian mukaan mustia aukkoja on olemassa. Tähtitieteilijöiden tehtävänä on ollut etsiä, onko tällaisia painovoiman romahduttamia kohteita todellisuudessa olemassa. Ja onhan niitä! Puolen vuosisadan aikana tehdyt havainnot ovat osoittaneet niiden olevan varsin yleisiä kohteita, joiden massat vaihtelevat tähden massaisista mustista aukoista galaksien keskustoissa oleviin supermassiivisiin mustiin aukkoihin saakka.