Kappaleen rata pyörimättömän mustan aukon gravitaatiokentässä

Tomi Hyvönen

Konservatiivinen keskeisvoima

Newtonin gravitaatiovoima on konservatiivinen keskeisvoima. Konservatiivisuus tarkoittaa, että massan M aiheuttamassa gravitaatiokentässä kappaleeseen m tehty työ riippuu vain kappaleen alku- ja loppupaikoista. Tehty työ ei siis riipu siitä, millaista reittiä kappale on alku- ja loppupaikan välillä kulkenut.

Konservatiiviseen voimaan F liittyy aina potentiaali V

 

tai 

 .

Kappaleen potentiaalienergian erotus alku- ja loppupisteiden välillä ei riipu kappaleen kulkemasta reitistä. Kun kappaleeseen vaikuttaa konservatiivinen voima, kuljetulla reitillä ei ole merkitystä. Kaikkia reittejä pitkin kappaleeseen tehdään yhtä suuri työ W (kuva 1). Kaikki alku- ja loppupaikkojen välisiä reittejä käyttäen saadaan yksikäsitteinen potentiaalienergia V. Jos kappale liikkuu suljetun silmukan pisteestä A pisteeseen B ja palaa toista reittiä takaisin, kappaleeseen tehty kokonaistyö on nolla.

Kuva 1: Konservatiivisen voiman tekemä työ ei riipu kappaleen kulkemasta reitistä.

Matemaattinen ehto konservatiiviselle voimalle on

 . 

Yhtälössä × ja

  

ovat vektoreiden ristitulo ja vektorimuotoinen derivaattaoperaattori pallokoordinaatistossa 

 ,

jossa r on säteen suuntainen koordinaatti, q ja f ovat kulmakoordinaatteja ja yksikkövektoreita.

Keskeisvoima tarkoittaa, että voima suuntautuu aina massan M ja kappaleen m välisen etäisyyden suuntaisesti. Voiman suuruus riippuu kappaleiden välisestä etäisyydestä r. Voima voi olla joko puoleensavetävä (esim. gravitaatio), tai hylkivä (esim. samanmerkkiset sähkövaraukset).

Keskeisvoima on yleisesti

 ,

jossa F ja r ovat voima- ja suuntavektori ja säteen suuntainen yksikkövektori. Sijoittamalla keskeisvoiman yhtälö edellä olleeseen konservatiivisen voiman ehtolausekkeeseen nähdään, että ristitulo on nolla. Näin ollen keskeisvoima on aina konservatiivinen.

Keskeisvoimalle derivaattaoperaattorin kaksi jälkimmäistä termiä ovat nollia, joten . 

 . 

Nyt konservatiivisen voiman ja potentiaalin välinen yhtälö on 

  .

Gravitaatio on keskeisvoimista tutuin. Gravitaatiolaki kuuluu sanallisesti seuraavasti: kaksi kappaletta vetää toisiaan puoleensa voimalla, joka riippuu kappaleiden massojen tulosta ja on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Yhtälönä esitettynä päästään huomattavasti vähemmällä kirjoittamisella

 .

Gravitaatiopotentiaalienergia saadaan integroimalla yhtälö

.

Kappale on alussa äärettömän kaukana massasta M. Tällöin potentiaalienergia voidaan asettaa V_alku = 0. Kappale liikkuu etäisyydelle r. Negatiivinen etumerkki voiman lausekkeessa aiheutuu siitä, että kappaleen m sijaitessa aluksi äärettömän kaukana, siihen kohdistuva gravitaatiovoima suuntautuu kohti origossa olevaa massaa M eli negatiiviseen suuntaan. Integraalissa lasketaan potentiaalienergian muutos alku- ja lopputilan välillä. Yhtä helposti potentiaalienergian saa päättelemällä, millainen yhtälö tuottaa derivoituna voiman lausekkeen. Teki kummalla tavalla tahansa, potentiaalienergia on

 .

Miksi on tärkeä tietää, että gravitaatiovoima on konservatiivinen keskeisvoima? Gravitaatio on keskeisvoima, joten se on konservatiivinen voima ja näin ollen sitä vastaa yksikäsitteinen gravitaatiopotentiaalienergia. Potentiaalienergiaa tarvitaan, kun tarkastellaan kappaleen rataliikettä.

Pyörimismäärä

Suoraviivaisessa etenemisliikkeessä kappaleella on massan ja nopeuden tulon mukainen liikemäärä, p = mv. Vastaavasti pyörimisliikkeessä olevalla kappaleella on pyörimismäärä. Se riippuu kappaleen radan säteestä r ja nopeudesta v

 

Tämä voidaan kirjoittaa muodossa L = mvrsina, jossa a on nopeusvektorin ja säteen välinen kulma. Kun nopeuskomponentti on radan tangentin suuntainen, a = 0 ja sina = 1. Pyörimismäärä tangentiaalinopeuden v_q avulla kirjoitettuna on

 .

Tarkastellaan, miten pyörimismäärä muuttuu kappaleen kiertäessä radallaan. Lasketaan pyörimismäärän aikaderivaatta

 

 

Koska dr/dt = v, oikean puolen ensimmäisessä termissä vektoreiden ristitulo on v × v = 0. Tällöin

. 

Newtonin mekaniikan 2. laista muistetaan, että voima on liikemäärän muutos 

 . 

Nyt pyörimismäärän muutos on

 ,

jossa t on vääntömomentti. Keskeisvoima vaikuttaa aina säteen suunnassa, joten se ei aiheuta vääntömomenttia. Jos kappaleeseen ei kohdistu keskeisvoiman lisäksi ulkoisia voimia, vääntömomentti t = 0. Kun ulkoisia voimia ei ole, dL/dt = 0, joten kappaleen pyörimismäärä L on 

 . 

Pyörimismäärä ei siis riipu siitä, missä kohdassa rataansa kappale on.

Tangentiaalinopeus voidaan esittää kulmanopeuden ja radan säteen avulla

  . 

Sijoitetaan tämä edellä olleeseen pyörimismäärän yhtälöön, jolloin

 .

Huomataan, että kappaleen kulmanopeus pienenee, kun radan säde kasvaa. Jatkoa varten ratkaistaan yhtälö kulmanopeuden suhteen

 .

 

Kokonaisenergia

Massan M gravitaatiokentässä kiertävän kappaleen m kokonaisenergia on sen liike-energian ja potentiaalienergian summa. Energiaa hävittäviä voimia (esim. kitka) ei ole, joten kappaleen kokonaisenergia on vakio

 .

Edellisessä kappaleessa mainitun tangentiaalisen nopeuskomponentin

 

lisäksi kappaleella on radan säteen suuntainen nopeuskomponentti . Säteen suuntainen komponentti 

 

muuttaa radan sädettä ja tangentiaalinen komponentti kulmaa ϕ.

Nyt kappaleen ratanopeus voidaan esittää komponenttien avulla

 . 

Sijoitetaan tämä kokonaisenergian yhtälöön, jolloin

 .

Sijoitetaan yhtälöön edellä ollut kulmanopeuden lauseke

 , 

jolloin energiayhtälö on

 .

Ensimmäinen termi on liike-energia säteen suunnassa, toinen termi sentrifugialinen energia ja kolmas termi gravitaatiokentän potentiaalienergia.

Jaetaan yhtälö kappaleen massalla m, jolloin saadaan kokonaisenergia ja pyörimismäärä massayksikköä kohti, E/m ja l = L/m. Tällöin

 . 

Yhtälön kaksi viimeistä termiä on ns. efektiivinen potentiaali V_eff

 . 

Ensimmäinen, eli sentrifugialinen komponentti, kasvaa voimakkaasti pienillä säteen arvoilla aiheuttaen voimakkaan potentiaalienergian kasvun (potentiaalivalli). Toinen termi on gravitaatiosta aiheutuva puoleensa vetävä termi, joka pienillä säteen arvoilla negatiivisesta etumerkistä johtuen pienenee voimakkaasti.

Havainnollistetaan efektiivistä potentiaalia tarkastelemalla kappaletta Maan kiertoradalla. Kuvassa 2 on esitetty efektiivinen potentiaali useilla pyörimismäärän arvolla etäisyyden funktiona. Katkoviiva on Maan säde. Efektiivinen potentiaali lähestyy nollaa, kun r lähenee ääretöntä.

Kuva 2: Efektiivinen potentiaali viidellä erilaisella l/m arvolla. Katkoviiva kuvaa Maan pintaa.

Kirjoitetaan energiayhtälö muotoon

 .

Yhtälön vasen puoli on kappaleen liike-energia. Se on aina ≥0. Näin ollen kappaleen kokonaisenergia E on aina suurempi tai yhtä suuri kuin efektiivinen potentiaali E ≥ V_eff. Efektiivisen potentiaalin kuvaajasta on helppo nähdä, millainen rata kappaleella on tietyillä kokonaisenergian ja pyörimismäärän arvoilla. Tämä on esitetty kuvassa 3.

Lasketaan suuruusluokka-arvio pyörimismäärälle 400 km korkeudella ympyräradalla liikkuvalle satelliitille. Satelliitin ratanopeus on

 . 

Pyörimismääräon

 

 

 

Kuva 3: a) Kokonaisenergia on aina vähintään efektiivisen potentiaalin suuruinen. Kokonaisenergia määrää radan muodon. b) Kappaleen rata erilaisilla kappaleen kokonaisenergian arvoilla.

Kokonaisenergiaa kuvaava vaakasuora viiva ei voi koskaan olla efektiivistä potentiaalia kuvaavan käyrän alapuolella. Tietämättä mitään tarkempaa kappaleen radasta efektiivisen potentiaalin kuvaajasta näkee kappaleen radan ääripisteet. Pisteet, joissa E = V_eff, ovat käännepisteitä. Niitä vastaavilla säteen arvoilla kappaleen liike-energia on nolla ja kappaleen liikesuunta muuttuu.

Kappale on suljetulla ellipsiradalla (punainen viiva), kun kokonaisenergia E < 0. Kuvaajasta voi lukea radan pienimmän ja suurimman säteen arvoa. Maan radan tapauksessa nämä ovat ellipsiradan perigeum ja apogeum ^[2] .

Kappale on avoimella radalla, jos sen kokonaisenergia on suurempi kuin nolla, E > 0 (oranssi viiva). Tällöin kappale käy keskuskappaleen lähellä kääntyen takaisin matkaten äärettömän kauas. Tällöin kappaleen rata on hyperbeli.

Kun kokonaisenergia on täsmälleen efektiivisen potentiaalin minimikohdassa, kokonaisenergia E = E_eff. Tällöin kappaleen säteen suuntainen liike-energia on nolla ja kappale kiertää ympyräradalla. Efektiivisen potentiaalin kuvaajan alin piste vastaa ympyrärataa. Ympyräradan säde saadaan laskemalla efektiivisen potentiaalin derivaatan nollakohta

 .

Tästä saadaan ratkaistua ympyräradan säde r_c

 .

Kappaleen rata saadaan määritettyä kokonaisenergian ja pyörimismäärän avulla. Lasketaan aluksi radan eksentrisyys e

  .

Eksentrisyys määrittää radan elliptisyyden

e = 0 ympyrärata

0 < e < 1 ellipsirata

e > 1 hyperbelirata

Radan säde saadaan Keplerin ratayhtälöstä

 . 

Säteen arvot voidaan muuttaa karteesiseen koordinaatistoon

 

 ja

 .

Nyt on käsitys siitä, millaisella radalla kappale liikkuu Newtonin gravitaatiolakiin perustuen. Tarkastellaan seuraavaksi, miten kappale liikkuu yleisen suhteellisuusteorian mukaisesti.

Pyörimätön musta aukko

Johdetaan seuraavaksi suhteellisuusteorian mukainen efektiivinen potentiaali pyörimättömän mustan aukon ympärillä. Kuten Newtonin tapauksessa, efektiivisen potentiaalin avulla nähdään helposti kappaleen mahdolliset radat mustan aukon ympärillä. Käytetään yksiköitä, joissa vakiot gravitaatiovakio ja valon nopeus G = c = 1.

Symmetriasta johtuen massaa kiertävän kappaleen ratataso pysyy muuttumattomana. Kappaleella ei ole syytä poiketa ratatasosta suuntaan tai toiseen. Oletetaan, että kappale kiertää mustaa aukkoa radalla, jossa q = p/2. Tällöin pyörimättömän pallosymmetrisen massan M ympärillä aika-avaruutta kuvaa Schwarzschildin metriikka ^[1]. Kun tarkastellaan kiertoradalla liikkuvaa kappaletta, metriikka on

 .

Metriikan yhtälössä dt on ajanluonteinen etäisyys kahden tapahtuman välillä, t ja r ovat koordinaattiaika ja -säde ja ϕ ovat pallokoordinaatiston kulmatermi. On hyvä huomata, että r ei suoranaisesti ole etäisyys massan M keskipisteestä. Koordinaattietäisyys tarkoittaa, että tietyllä säteen arvolla pallopinnan pinta-ala on 4pr².

Schwarchildin metriikka on sekä pallosymmetrinen että ajan suhteen staattinen. Avaruus on samanlainen, katsoipa mihin suuntaan tahansa. Aika-avaruus ei myöskään riipu ajasta. Nyt, huomenna tai viikon kuluttua metriikka on täsmälleen sama. Metriikka riippuu ainoastaan massasta mitatusta etäisyydestä. Mitä kauempana massasta ollaan sitä pienempi on aika-avaruuden kaareutumista aiheuttavat termit. Äärettömän kaukana metriikka palautuu tasaisen aika-avaruuden metriikaksi.

Metriikan symmetriaominaisuuksilla on tärkeä merkitys. Niiden avulla saadaan määritettyä avaruudessa liikkuvan kappaleen vakiona pysyvät suureet: energia ja pyörimismäärä. Koska metriikka ei riipu ajasta, radalla liikkuvan kappaleen energia E on vakio

 .

Metriikka ei myöskään riipu kulmasuureesta ϕ, joten kappaleen pyörimismäärä L on vakio 

 .

Ratkaistaan yhtälöt dt ja dϕ suhteen ja sijoitetaan metriikan yhtälöön. Vastaavasti kuten Newtonin gravitaation tapauksessa, ratkaistaan yhtälö radiaalinopeuden suhteen. Saadaan 

  . 

Vastaavasti voidaan muodostaa rataa kuvaava yhtälö myös massattomalle hiukkaselle, kuten fotoni, mutta tarkastellaan tässä kuitenkin vain massallisen kappaleen rataa.

Yhtälön oikean puolen jälkimmäinen termi on kappaleen efektiivinen potentiaalienergia. Huomataan ero suhteellisuusteorian ja Newtonin gravitaatiolain välillä. Nyt efektiivinen potentiaalienergia on

 

ja radan yhtälö on

 . 

Efektiivisen potentiaalienergian kuvaaja on esitetty kuvassa 4 useammalla pyörimismäärän arvolla. Newtonin gravitaatiolain tapauksessa radan säteen r lähestyessä ääretöntä, efektiivinen potentiaalienergia lähestyi nollaa. Mustan aukon tapauksessa se lähestyy arvoa E/m = 1. Tämä on mustaa aukkoa kiertävän kappaleen lepoenergia.

Tarkastellaan efektiivistä potentiaalienergiaa tapahtumahorisontin r_s = 2M ulkopuolella. Kun r → r_s, efektiivisen potentiaalienergian kuvaaja kääntyy jyrkästi alaspäin. Tätä kutsutaan efektiivisen potentiaalin kuopaksi ”pit”. Kappaleen tullessa hyvin lähelle mustaa aukkoa potentiaali ei Newtonin mekaniikan mukaisesti olekaan hylkivä, vaan päinvastoin puoleensa vetävä ja massa M kaappaa kappaleen. Tämä aiheuttaa sen, että kappaleen radan säteelle on alaraja, jolla kappale voi olla joutumatta massan kaappaamaksi. Kuvasta 4 huomataan, että mustan aukon efektiivinen potentiaali on puoleensa vetävä suurilla etäisyyksillä, hylkivä pienemmillä etäisyyksillä ja jälleen puoleensa vetävä hyvin pienillä etäisyyksillä.

 

Kuva 4: Efektiivinen potentiaali Schwarchildin metriikassa viidellä eri pyörimismäärän arvolla. Pienillä säteen arvoilla potentiaalissa on "kuoppa" toisin kuin Newtonin gravitaatiolaissa. Pystyviiva kuvaa tapahtumahorisontin etäisyyttä r_s = 2M.

Kuten Newtonin lain tapauksessa, efektiivisen potentiaalienergian kuvaajasta, kuva 5, voidaan helposti nähdä mahdolliset radat. Edellisen yhtälön vasen puoli on aina suurempi kuin nolla, joten kappaleen energian tulee olla aina vähintään efektiivisen potentiaalin suuruinen. Näin ollen kappaleen energia määrää radan.

Jos kappaleen energia on suurempi kuin potentiaalienergian maksimi, kuvassa 5 tilanne G, kappaleen vakiona pysyvää energiaa kuvaava horisontaalinen suora ei leikkaa potentiaalienergian kuvaajaa millään säteen arvolla. Näin ollen kappale ei pysty kääntymään tulosuuntaansa,vaan joutuu mustan aukon kaappaamaksi (kuva 6 oranssi).

Tilanteessa F kappaleen energia on täsmälleen potentiaalienergian maksimi. Tällöin kappale kiertää viimeisellä mahdollisella, epästabiililla, ympyräradalla (kuva 6 punainen). Pienikin häiriö joko suistaa kappaleen mustan aukon syövereihin tai sinkoaa sen avaruuteen. Epästabiililla ympyräradalla olevan kappaleen tilannetta voi verrata kärjellään seisovaan lyijykynään. Hyvin tarkasti tasapainossa oleva kynä pysyy jonkin aikaa pystyssä, mutta pienikin häiriö kaataa kynän nopeasti.

Jos kappaleen energia vastaa rataa B‒C, kappale kiertää ellipsirataa (kuva 6 katkoviiva). Radan lähin ja kauimmainen piste ovat etäisyyksillä r_B ja -r_C. Rata ei ole kuitenkaan suljettu, vaan ellipsin lähin piste kiertyy mustan aukon ympäri.

Kuvasta 5 huomataan, että kappaleella on toinenkin ympyrärata. Tässä tapauksessa ympyrärata sijaitsee potentiaalienergiakuvaajan minimikohdassa A ja rata on stabiili (kuva 6 vihreä).

Jos mustaa aukkoa lähestyvän kappaleen energia on suurempi kuin 1 ja pienempi kuin potentiaalin maksimi, kappale kiertää mustan aukon ja palaa takaisin äärettömyyteen (piste D). Tämä vastaa relativistiset erot huomioon ottaen Newtonin gravitaatiolain hyperbelirataa.

Taulukossa on koottu kuvan 5 mukaiset radat.

ENERGIA E	KUVAAJAN PISTEET	RADAN TYYPPI	RADAN KUVAUS
E = 0,927	Piste A	Stabiili ympyrärata r = 15,6	Säteittäinen nopeus on nolla. Kappale kiertää muuttumattomalla etäisyydellä.
0,927 < E < 1,0	Viiva B - C	Prekessoiva ellipsirata	Kappale oskilloi periapsiksen ja apoapsiksen välillä. Rata kiertyy.
1.0 ≤ E < 1.053	Piste D	Relativistinen hyperbeliohitus	Kappale saapuu äärettömyydestä, kääntyy voimakkaasti lähellä aukkoa ja pakenee takaisin avaruuteen.
E = 1,053	Piste F, maksimipiste	Epästabiili ympyrärata r = 3,7	Säteittäinen nopeus on nolla. Kappale kiertää epästabiililla radalla.
E > 1,053	Piste G	Törmäysrata	Kappale syöksyy tapahtumahorisontin läpi singulariteettiin.

 

Kuva 5: Efektiivinen potentiaali, kun l = 4.4. Kuvassa katkoviivat ovat kappaleen kokonaisenergiasta riippuvia ratoja. Piste A on stabiili ympyrärata, B‒C ellipsi, D epästabiili ympyrärata ja D kappale tippuu suoraan mustaan aukkoon.

Efektiivisen potentiaalin ääriarvokohdat, eli ympyräratojen säteet, saadaan laskemalla efektiivisen potentiaalienergian derivaatan nollakohdat

 . 

Derivoidaan ja ratkaistaan säteen suhteen. Ympyräratojen säteiksi saadaan

 . 

Tuloksesta huomataan, että massallisella kappaleella on kaksi ympyrärataa silloin, kun l² > 12M². Radat ovat identtisiä silloin, kun l² = 12M². Ympyrärata ei ole mahdollinen, kun l² < 12M². Kun l² = 12M², ympyräradan säde on pienin mahdollinen. Ratkaistaan minimisäde sijoittamalla pyörimismäärän arvo edelliseen yhtälöön. Saadaan, että massallisen kappaleen alin ympyrärata on 

 . 

Muistetaan, että tapahtumahorisontin etäisyys on r_s = 2M, joten lähin mahdollinen ympyrärata on etäisyydellä 3r_s. Mainittakoon, että massattoman hiukkasen, esim. fotonin, alin mahdollinen ympyrärata on aina etäisyydellä r_min = 3M.

Kuva : Pyörimätöntä mustaa aukkoa kiertävän massallisen kappaleen radat 2D-tasossa.

Viiteet

[1] Metriikka on aika-avaruuden mittaussääntö, joka kertoo miten etäisyydet, ajat ja liikkeet määräytyvät vallitsevassa gravitaatiokentässä.

[2] Perigeum ja apogeum viittaavat Maata kiertävän kappaleen radan lähintä ja etäisintä pistettä. Aurinkoa kiertävän kappaleen vastaavia pisteitä kutsutaan termeillä periheli ja apheli (engl. perihelion ja aphelion) ja muiden tähtien ja mustien aukkojen kiertoradoilla termit ovat periapsis (periastron) ja apapsis (apastron). Musta aukon (esim. Linnunradan keskustassa olevan Sagitarius A* yhteydessä) kiertoradan vastaavista pisteistä näkee silloin tällöin käytettävän termejä peribothron ja apobothron.