Retki neutronitähden pinnalle

Tomi Hyvönen

Tehdään pieni retki kahden sankarimme mukana neutronitähden pinnalle katsomaan, millainen kiihtyvyys siellä suhteellisuusteorian mukaan vallitsee. Kannattaako sinne laskeutua, vai olisiko turvallisempaa ihailla kohdetta hieman kauempaa?

Johdanto

Olipa kerran kaksi urheaa avaruusmatkaajaa, Ana ja Conda. Taivaallisia Asioita Pohdiskeleva Päättävä Analysoiva Ratkaiseva Alaosasto oli lähettänyt heidät galaktiselle matkalle luotaamaan tutkimattomien korpimaiden vihoviimeisimpiä nurkkia.

Valitettavasti galaktiset budjettileikkaukset olivat osuneet tähänkin pieneen, mutta vaatimattomaan, retkikuntaan. Tietokoneekseen urheat sankarit olivat saaneet budjetin halvimmasta päästä olevan Ihmeellisyyksiä Pohdiskelevan Analysaattorin. Eihän se kone enää mikään helminen ollut, mutta saipa siitä kuitenkin kelpo työjuhdan retkelle. Harvoin meni lukkoon, vaikka kuinka jukuripäisesti sitä lätki.

Suuren osan matkasta analysaattori teki asioita rauhallisen verkkaiseen tahtiin älä hosu, ettet väsy -asenteella. Toisaalta, ei sen havaintopiiriin osunut mitään pieniä punaisia kääpiötähtiä ihmeellisempiä kohteita. Silloin tällöin niissä sattuva flare-purkaus sai aluksi pientä innostusta aikaan, mutta pian niihinkin tottui. Ana ja Conda saivat rauhassa keskittyä retkieväiden nautiskeluun ja avaruuden mustan äärettömyyden ihailuun.

Yllättäen analysaattorin kaiuttimista alkoi kuulua sulosointuisia Na-na na na-na -säveliä. Näytöllä vilkkui isoilla kirjaimilla Yllät&ävä Löy#ös Äkkiseltään Ma#tais#ko Ulostautua Matkustaja Miehitettynä O%&%¤#&. Conda havahtui suloisiin säveliin ja käänsi katseensa näytölle.

- Tuli joku hälytys! huusi Conda suu täynnä vohvelia.

- Jaa, mitäs tällä kertaa? Sämpylän välistä kinkkuviipaleita poimiva Ana vastasi.

- IPA taas sekoilee. Ei tuosta sotkusta saa selvää. Mut joo.. tsekataan, mikä homman nimi.

- Kolauta sitä rakkinetta jollain kepillä vaikka.. oikeesti pitäis vaihtaa koko härveli. Ana huuteli.

- Ei tepsi.. mennään tällä. Totesi Conda tuskastuneena iänikuisiin markan vehkeisiin.

Toisaalta kyllähän T.A.P.P.A.R.A. :lla varaa olisi kunnon pelivehkeet hankkia, mutta tällä kertaa panokset oli asetettu muualle kuin tähän pieneen retkikuntaan.

Conda asetti vohvelinsa työpöydälle ja keskittyi näytön antimiin.

- Näyttäis olevan joku pikkunätti pallomainen kohde... pinta-alasta laskettu säde kymmenen kilometriä ja massaa pari arskaa, eikä juurikaan pyäri.

Ana ja Conda tutkailivat kohdetta lähemmin ja pohtivat, mahtaisiko tuolla kannattaa piipahtaa.

-Saiskohan sieltä vaihtelua näihin meidän budjettiretkieväisiin? Kotoisaa riävää tai mustaamakkaraa vaikka...? Kyseli Ana pieni toiveenkare evästyksen paranemisesta mielessään.

 Aluksella oli mukana pieni yhden henkilön tutkimusmatkailuun sopiva alus. Lyhyen neuvottelun jälkeen kaverukset päättivät yksissä tuumin varustaa aluksen laskeutumista varten. Ana vapaaehtoiseksi ilmoittautuneena pakkasi itsensä alukseen. Hän oli sulkemassa luukkua, kunnes muisti jotain tärkeää.

- Saisinko jostain jotain eväitä matkalle, huuteli herkkusuuna tunnettu Ana.

Saat Ana! Haista kaavittu! -huikkasi Conda ja ojensi täyden eväsrepun luukun raosta.

Ana alkoi naputella laskeutumisaluksen vähän hitaalla käyvää analysaattoria pyrkien selvittämään, millainen kiihtyvyys kotoisiin olosuhteisiin verrattuna pallomaisen kappaleen pinnalla vallitsisi. Kotona vallitsi sellainen leppoisa 1 g:n kiihtyvyys (10 m/s²). IPA alkoi raksuttaa pyrkien kohti maalia. Sen kierrokset ja kaarrokset ovat tunnetusti pitkiä, joten meillä on hyvin aikaa tutustua hieman tarkemmin, miten analysaattori maalia kohti pyrkii.

Metriikka

Urhoollinen Ana on laskeutumassa pyörimättömän neutronitähden pinnalle. Matkan aikana analysaattorin tavoite on laskea yleisen suhteellisuusteorian mukainen kiihtyvyys pyörimättömän (tai hitaasti pyörivän) pallosymmetrisen kappaleen pinnalla.

Pallosymmetrisen pyörimättömän kappaleen (massa M) ympärillä aika-avaruuden kaarevuutta kuvaa kuuluisa Schwarzchildin metriikka.

  

Mitä kompaktimpi kappale sitä voimakkaampi on avaruuden kaareutuminen. Tällaisia kohteita ovat valkoiset kääpiöt, neutronitähdet ja äärimmäisenä tapauksena mustat aukot. Metriikka kuvaa hyvin myös esimerkiksi maapallon ja auringon kaareuttamaa aika-avaruutta, vaikka niissä suhteellisuusteorian ilmiöt ovatkin huomattavasti pienempiä. Koska tutkimusmatkailijoiden kohtaama kappale on pallosymmetrinen ja pyörimätön, kyseinen metriikka annetaan analysaattorille lähtötiedoiksi.

Vasemmalla puolella oleva ds on kahden tapahtuman (t, r, q, f) ja (t+dt, r+dr, q+dq , f+df ) aika-avaruudellinen etäisyys. Oikealla puolella oleva lauseke koostuu neljästä koordinaatista: koordinaattiaika t, koordinaattietäisyys r sekä kulmakoordinaatit q ja f. Kyseessä on tuttu 3-ulotteinen pallokoordinaatisto aikakoordinaatilla ja korjauskertoimella lisättynä. Aika- ja etäisyyskomponenteissa olevat sulkulausekkeet ovat termejä, jotka aiheutuvat aika-avaruutta kaarruttavasta massasta M.

On hyvä huomata, että r on koordinaattietäisyys. Avaruuden kaareutumisesta johtuen se ei ole sama kuin kohteen fysikaalinen etäisyys. Sankarimme mittasivat neutronitähden pinta-alan ja laskivat siitä A = 4pR² tähden säteen. Samoin aika riippuu siitä, kuinka kaukana havaitsija kohteesta on.

Koordinaatin r kasvaessa sulkulausekkeet lähestyvät arvoa 1. Hyvin kaukana massasta aika-avaruuden metriikka palautuu suppean suhteellisuusteorian tasaisen aika-avaruuden metriikkaan .

Metriikka voidaan kirjoittaa matriisina  g_ab

   

 

Neljä vaaka- ja pystyriviä kuvaavat neljää aika-avaruuden koordinaattia. Jatkoa ajatellen on hyvä huomata, että vain diagonaalitermit poikkeavat nollasta. Kaikki ristitermit ovat nollia. Metriikka voidaan kirjoittaa myös muodossa

   

 

Matriisit ovat käänteismatriiseja, jolloin niiden kertolaskuna g^abg_ab saadaan matriisi, jossa diagonaalitermit ovat 1.

Hyvin usein merkitään G = c = 1. Tällöin massan yksikkö on metri. Esimerkiksi Auringon massa metreissä on noin 1500 m. Tuttuja yksikköjä käyttäen 2M/r on 2GM/c²r. Käytetään yhtälöiden pyörityksessä lyhyempää muotoa selkeyden vuoksi, mutta lasketaan lopputulos tutuissa yksiköissä.

Geodeetin yhtälö

Otetaan pala paperia ja laitetaan siihen kaksi pistettä A ja B. Suorin reitti kahden pisteen välillä on suora viiva. Kaivetaan kaapista pölyttymään päässyt karttapallo ja valitaan siitä satunnaisesti kaksi pistettä. Näiden pisteiden välinen lyhyin reitti kulkee sellaista ympyrän kaarta pitkin, jonka keskipiste on pallon keskipisteessä. Kaari on geodeetti: lyhin reitti kahden pisteen välillä. Jos haluaa suorinta mahdollista reittiä vaikkapa Tampereelta Las Palmasin auringon alle, kannattaa lentää pisteitä yhdistävää geodeettia pitkin.

Vastaavasti kaarevassa aika-avaruudessa vapaasti liikkuva kappale kulkee suorinta reittiä, geodeettia, pitkin. Geodeetin yhtälö on 

   

Yhtälössä x^m on koordinaattikomponentti. Neliulotteisessa aika-avaruudessa on yksi aika- ja kolme avaruuskoordinaattia. Kutakin koordinaattia merkitään yläindeksien arvoilla 0, 1, 2 ja 3 siten, että t → 0, r → 1, q → 2 ja f → 3. Yhtälössä  , jossa t on geodeettia pitkin liikkuvan kappaleen ominaisaika. Se eroaa metriikassa olevasta koordinaattiajasta t siten, että koordinaattiaika on kaukana olevan havaitsijan mittaama aika. Toisessa termissä   on kappaleen nelinopeus dx^a/dt. Aikakoordinaatin kohdalla m = 0, koordinaattietäisyyden tapauksessa m = 1 ja niin edelleen. Yläindeksit a ja b saavat myös arvoja väliltä 0 – 3, mutta ne eivät riipu indeksistä m. Mainittakoon vielä yksi tärkeä asia indekseistä. Kun sama indeksi esiintyy sekä ylä- että alaindeksinä, termit summataan. Kappaleen liikettä geodeettia pitkin kuvaa yhteensä neljä yhtälöä.

Entäpä sitten G? Kirjain on kreikkalaisten aakkosten iso gammakirjain. Tässä yhteydessä se on nimeltään Christoffelin symboli. Se riippuu vain metriikasta ja sen derivaatoista seuraavasti 

  

Kovasti sekavan näköinen on tämäkin, indeksejä vilisee kuin Vilkkilässä kissoja. Tämä ∂ merkki on osittaisderivaatta ja alaindeksi kertoo, minkä koordinaatin suhteen derivaatta lasketaan. Esimerkiksi derivaatta r:n suhteen on ∂_r = ∂/∂r. Yläindeksillä varustettu g on edeltä tuttu aika-avaruuden metriikka. Muistetaan, että yläindeksi m kertoo, mitä koordinaattia tarkastellaan. Indeksit a, b, s saavat arvoja 0, 1, 2 ja 3. Kullekin koordinaatille on useita G-komponentteja indeksien mukaisesti. Lohdullista on kuitenkin, että osa näistä komponenteista on nolla. Näin käy siinä tapauksessa, jos metriikan komponentit eivät riipu differentioitavasta koordinaatista.

Johdetaan seuraavaksi geodeetin yhtälö r-koordinaatille, jolloin m = 1. Geodeetin yhtälö ja Christoffelin symboli ovat 

   

   

 Seuraavaksi täytyy laskea . Metriikassa kaikki ristitermit ovat nollia, joten ainoa nollasta poikkeava komponentti on  (s = 1). Tällöin 

   

 Urakkaa helpottaa, että   vain silloin, kun a = b. Lasketaan seuraavaksi nollasta poikkeavat Christoffelin symbolit indeksien a ja b arvoilla 0, 1, 2, 3.

Christoffelin symbolit

a = b = 0

Tiputellaan indekseille a ja b arvoksi 0. 

   

Yhtälössä ∂₀ tarkoittaa komponentin g₀₁ osittaisderivaattaa ajan suhteen. Vastaavasti ∂₁ on komponentin g₀₀ osittaisderivaatta r:n suhteen. Metriikassa ristitermit ovat nollia (g₀₁ = 0), joten jäljelle jää vain sulkulausekkeen viimeinen termi. 

  

Metriikasta saadaan g₀₀ = –(1 – 2M/r). Lasketaan ∂₁g₀₀ = -2M/r². Sijoitetaan termit yhtälöön ja sievennetään. 

  

   

a = b = 1

Sijoitellaan arvot indekseille, jolloin saadaan  

  

Suluissa olevat termit ovat samoja, joten ne voidaan laskea yhteen.

  

Lasketaan komponentin g₁₁ = (1 – 2M/r)^-1 osittaisderivaatta r:n suhteen

   .

Sijoitetaan termit lausekkeeseen, jolloin saadaan

  

  

a = b = 2

Nyt Christoffelin symbolin komponentti on

  

Koska ristitermit ovat nollia, g₂₁ = 0, ja diagonaalikomponentti g₂₂ = r².

  

Lasketaan ∂₁g₂₂ = 2r. Sijoitetaan termit lausekkeeseen, jolloin saadaan

  

  

a = b = 3

Nyt on IPA:n puuhailuissa viimeinen erä ja maali häämöttää. Viimeinen nollasta poikkeava komponentti on

Komponentti g₃₁ = 0 ja g₃₃ = r²sinq, joten

 

Lasketaan ∂₁g₃₃ = 2rsin²q ja sijoitetaan termit, jolloin

  

  

Lopultakin peli on symbolien osalta vihelletty poikki ja IPA saa hetken hengähtää. Katsotaanpa, mitä se sai aikaiseksi. Nollasta eroavat Christoffelin symbolit ovat:

Geodeetin yhtälö on . Summaussäännön perusteella jälkimmäisessä termissä ylä- ja alaindeksit summataan. Muistetaan edeltä, että indeksin arvo 0 vastaa aikakoordinaattia t, 1 etäisyyskoordinaattia r jne. Kirjoitetaan jälkimmäinen termi auki

   

Sijoitetaan tähän edellä lasketut Cristoffelin symbolit, jolloin r-koordinaatin geodeettinen yhtälö on

  

Geodeettisen yhtälön kolme muuta komponenttia voidaan myös laskea vastaavalla tavalla, mutta tässä tapauksessa niitä ei tarvita.

Kiihtyvyys

Pienen lepohetken jälkeen IPA:n pienissä rattaissa alkaa raksutus, kuinka tästä kaikesta saadaan laskettua sankarimme Anan neutronitähden pinnalla kokema kiihtyvyys. Geodeetin yhtälö kertoo vapaasti liikkuvan kappaleen radan. Neutronitähden pinnalla seisoessaan Ana ei ole vapaassa liikkeessä, vaan kokee kiihtyvyyden tähden säteen suunnassa. Kiihtyvyyskomponentti on

 

Tämä on kiihtyvyysvektorin r-komponentti. Vastaavalla tavalla voidaan geodeettinen yhtälö laskea muillekin komponenteille, mutta Anan seisoessa neutronitähden pinnalla komponentit a^t = a^q = a^f = 0.

Pinnalla seisoessa etäisyyskoordinaatti on neutronitähden säde r = R ja kulmatermit q ja f ovat vakioita, joten ne eivät muutu. Näin ollen . Tällöin kiihtyvyyden r-komponentti on

Tämähän alkaahan näyttää kivalta yhtälöltä. Vielä pitäisi miettiä, mitä -termille tehtäisiin. Siihen saadaan ratkaisu nelinopeusvektorin normalisaatioehdosta u^au_a = -1. Anan tapauksessa se on

, josta saadaan ratkaistua

   

Sijoitetaan tämä kiihtyvyyden lausekkeeseen, jolloin

  

Tämä on siis Anan kiihtyvyysvektorin säteen suuntainen komponentti muiden komponenttien ollessa 0.

Viimeisenä vaiheena lasketaan kiihtyvyysvektorin arvo . Se on vektorin sisätulon neliöjuuri 

.

Koska kaikki muut komponentit ovat nollia

Sijoittamalla a^r ja metriikan komponentti a_rr = a₁₁ saadaan lopultakin vastaus siihen, mitä IPA:n rattaat ovat Anan matkan ajan raksutelleet. Anan kokema kiihtyvyys neutronitähden pinnalla on

  

Newtonin mukaan kiihtyvyys olisi M/R². Huomataan, että suhteellisuusteoriasta aiheutuu korjaustermi . Sijoitetaan yhtälöön vakiot G ja c

Anan kokema kiihtyvyys neutronitähden (R = 10 km,  kg) pinnalla olisi huikeat

Maapallon putoamiskiihtyvyyteen verrattuna kiihtyvyys on .

Vastauksen saatuaan Ana tekee äkkijarrutuksen, kääntää aluksensa ympäri ja unohtaa unelmat paremmista retkieväistä. Kenties jossain avaruuden kätköissä odottaa lopulta herkullinen palkinto tästäkin reissusta — laatikollinen mustaamakkaraa!