Tomi Hyvönen
PDF
Tehdään pieni retki kahden sankarimme mukana
neutronitähden pinnalle katsomaan, millainen kiihtyvyys siellä
suhteellisuusteorian mukaan vallitsee. Kannattaako sinne laskeutua, vai olisiko
turvallisempaa ihailla kohdetta hieman kauempaa?
Johdanto
Olipa kerran kaksi urheaa avaruusmatkaajaa, Ana ja Conda. Taivaallisia Asioita
Pohdiskeleva Päättävä Analysoiva
Ratkaiseva Alaosasto oli lähettänyt heidät galaktiselle matkalle
luotaamaan tutkimattomien korpimaiden vihoviimeisimpiä nurkkia.
Valitettavasti galaktiset budjettileikkaukset olivat osuneet
tähänkin pieneen, mutta vaatimattomaan, retkikuntaan. Tietokoneekseen urheat
sankarit olivat saaneet budjetin halvimmasta päästä olevan Ihmeellisyyksiä Pohdiskelevan
Analysaattorin. Eihän se kone enää
mikään helminen ollut, mutta saipa siitä kuitenkin kelpo työjuhdan retkelle.
Harvoin meni lukkoon, vaikka kuinka jukuripäisesti sitä lätki.
Suuren osan matkasta analysaattori teki asioita rauhallisen
verkkaiseen tahtiin älä hosu, ettet väsy -asenteella. Toisaalta, ei sen
havaintopiiriin osunut mitään pieniä punaisia kääpiötähtiä ihmeellisempiä
kohteita. Silloin tällöin niissä sattuva flare-purkaus sai aluksi pientä
innostusta aikaan, mutta pian niihinkin tottui. Ana ja Conda saivat rauhassa
keskittyä retkieväiden nautiskeluun ja avaruuden mustan äärettömyyden ihailuun.
Yllättäen analysaattorin kaiuttimista alkoi kuulua
sulosointuisia Na-na na na-na -säveliä. Näytöllä vilkkui isoilla kirjaimilla
Yllät&ävä Löy#ös Äkkiseltään Ma#tais#ko Ulostautua Matkustaja Miehitettynä
O%&%¤#&. Conda havahtui suloisiin säveliin ja käänsi katseensa
näytölle.
- Tuli joku hälytys! huusi Conda suu täynnä vohvelia.
- Jaa, mitäs tällä kertaa? Sämpylän välistä kinkkuviipaleita
poimiva Ana vastasi.
- IPA taas
sekoilee. Ei tuosta sotkusta saa selvää. Mut joo.. tsekataan, mikä homman nimi.
- Kolauta sitä rakkinetta jollain kepillä vaikka.. oikeesti
pitäis vaihtaa koko härveli. Ana huuteli.
- Ei tepsi.. mennään tällä. Totesi Conda tuskastuneena
iänikuisiin markan vehkeisiin.
Toisaalta kyllähän T.A.P.P.A.R.A. :lla
varaa olisi kunnon pelivehkeet hankkia, mutta tällä kertaa panokset oli
asetettu muualle kuin tähän pieneen retkikuntaan.
Conda asetti vohvelinsa työpöydälle ja keskittyi näytön
antimiin.
- Näyttäis olevan joku pikkunätti pallomainen kohde...
pinta-alasta laskettu säde kymmenen kilometriä ja massaa pari arskaa, eikä
juurikaan pyäri.
Ana ja Conda tutkailivat kohdetta lähemmin ja pohtivat,
mahtaisiko tuolla kannattaa piipahtaa.
-Saiskohan sieltä vaihtelua näihin meidän
budjettiretkieväisiin? Kotoisaa riävää tai mustaamakkaraa vaikka...? Kyseli Ana
pieni toiveenkare evästyksen paranemisesta mielessään.
Aluksella oli mukana pieni yhden henkilön tutkimusmatkailuun
sopiva alus. Lyhyen neuvottelun jälkeen kaverukset päättivät yksissä tuumin
varustaa aluksen laskeutumista varten. Ana vapaaehtoiseksi ilmoittautuneena
pakkasi itsensä alukseen. Hän oli sulkemassa luukkua, kunnes muisti jotain
tärkeää.
- Saisinko jostain jotain eväitä matkalle, huuteli
herkkusuuna tunnettu Ana.
Saat Ana! Haista kaavittu! -huikkasi Conda ja ojensi täyden
eväsrepun luukun raosta.
Ana alkoi naputella laskeutumisaluksen vähän hitaalla käyvää
analysaattoria pyrkien selvittämään, millainen kiihtyvyys kotoisiin
olosuhteisiin verrattuna pallomaisen kappaleen pinnalla vallitsisi. Kotona
vallitsi sellainen leppoisa 1 g:n kiihtyvyys (10 m/s2). IPA alkoi raksuttaa pyrkien kohti maalia. Sen
kierrokset ja kaarrokset ovat tunnetusti pitkiä, joten meillä on hyvin aikaa
tutustua hieman tarkemmin, miten analysaattori maalia kohti pyrkii.
Metriikka
Urhoollinen Ana on laskeutumassa pyörimättömän neutronitähden
pinnalle. Matkan aikana analysaattorin tavoite on laskea yleisen
suhteellisuusteorian mukainen kiihtyvyys pyörimättömän (tai hitaasti pyörivän)
pallosymmetrisen kappaleen pinnalla.
Pallosymmetrisen pyörimättömän kappaleen (massa M)
ympärillä aika-avaruuden kaarevuutta kuvaa kuuluisa Schwarzchildin metriikka.

Mitä kompaktimpi kappale sitä voimakkaampi on avaruuden
kaareutuminen. Tällaisia kohteita ovat valkoiset kääpiöt, neutronitähdet ja
äärimmäisenä tapauksena mustat aukot. Metriikka kuvaa hyvin myös esimerkiksi
maapallon ja auringon kaareuttamaa aika-avaruutta, vaikka niissä
suhteellisuusteorian ilmiöt ovatkin huomattavasti pienempiä. Koska
tutkimusmatkailijoiden kohtaama kappale on pallosymmetrinen ja pyörimätön,
kyseinen metriikka annetaan analysaattorille lähtötiedoiksi.
Vasemmalla puolella oleva ds on kahden tapahtuman (t, r,
q, f)
ja (t+dt, r+dr, q+dq , f+df ) aika-avaruudellinen etäisyys. Oikealla
puolella oleva lauseke koostuu neljästä koordinaatista: koordinaattiaika t,
koordinaattietäisyys r sekä kulmakoordinaatit q ja f. Kyseessä on
tuttu 3-ulotteinen pallokoordinaatisto aikakoordinaatilla ja korjauskertoimilla
lisättynä. Aika- ja etäisyyskomponenteissa olevat sulkulausekkeet ovat termejä,
jotka aiheutuvat aika-avaruutta kaarruttavasta massasta M.
On hyvä huomata, että r on koordinaattietäisyys.
Avaruuden kaareutumisesta johtuen se ei ole sama kuin kohteen fysikaalinen
etäisyys. Sankarimme mittasivat neutronitähden pinta-alan ja laskivat siitä A
= 4pR2 tähden säteen.
Samoin aika riippuu siitä, kuinka kaukana havaitsija kohteesta on.
Koordinaatin r kasvaessa sulkulausekkeet lähestyvät
arvoa 1. Hyvin kaukana massasta aika-avaruuden metriikka palautuu suppean
suhteellisuusteorian tasaisen aika-avaruuden metriikkaan.

Metriikka voidaan kirjoittaa matriisina gab

Neljä vaaka- ja pystyriviä kuvaavat neljää aika-avaruuden
koordinaattia. Jatkoa ajatellen on hyvä huomata, että vain diagonaalitermit poikkeavat
nollasta. Kaikki ristitermit ovat nollia. Metriikka voidaan kirjoittaa myös
muodossa

Matriisit ovat käänteismatriiseja, jolloin niiden
kertolaskuna gabgab saadaan matriisi, jossa
diagonaalitermit ovat 1.
Hyvin usein merkitään G = c = 1. Tällöin massan
yksikkö on metri. Esimerkiksi Auringon massa metreissä on noin 1500 m. Tuttuja
yksikköjä käyttäen 2M/r on 2GM/c2r.
Käytetään yhtälöiden pyörityksessä lyhyempää muotoa selkeyden vuoksi, mutta
lasketaan lopputulos tutuissa yksiköissä.
Geodeetin yhtälö
Otetaan pala paperia ja laitetaan siihen kaksi pistettä A ja
B. Suorin reitti kahden pisteen välillä on suora viiva. Kaivetaan kaapista
pölyttymään päässyt karttapallo ja valitaan siitä satunnaisesti kaksi pistettä.
Näiden pisteiden välinen lyhyin reitti kulkee sellaista ympyrän kaarta pitkin,
jonka keskipiste on pallon keskipisteessä. Kaari on geodeetti: lyhin reitti
kahden pisteen välillä. Jos haluaa suorinta mahdollista reittiä vaikkapa
Tampereelta Las Palmasin auringon alle, kannattaa lentää pisteitä yhdistävää
geodeettia pitkin.
Vastaavasti kaarevassa aika-avaruudessa vapaasti liikkuva
kappale kulkee suorinta reittiä, geodeettia, pitkin. Geodeetin yhtälö on

Yhtälössä xm
on koordinaattikomponentti. Neliulotteisessa aika-avaruudessa on yksi aika- ja
kolme avaruuskoordinaattia. Kutakin koordinaattia merkitään yläindeksien
arvoilla 0, 1, 2 ja 3 siten, että t → 0, r → 1, q → 2 ja f
→ 3. Yhtälössä
,
jossa t
on geodeettia pitkin liikkuvan kappaleen ominaisaika. Se eroaa metriikassa
olevasta koordinaattiajasta t siten, että koordinaattiaika on kaukana
olevan havaitsijan mittaama aika. Toisessa termissä
on kappaleen nelinopeus dxa/dt.
Aikakoordinaatin kohdalla m = 0,
koordinaattietäisyyden tapauksessa m =
1 ja niin edelleen. Yläindeksit a ja b saavat myös arvoja väliltä 0 – 3, mutta ne
eivät riipu indeksistä m. Mainittakoon
vielä yksi tärkeä asia indekseistä. Kun sama indeksi esiintyy sekä ylä- että
alaindeksinä, termit summataan. Kappaleen liikettä geodeettia pitkin kuvaa
yhteensä neljä yhtälöä.
Entäpä sitten G?
Kirjain on kreikkalaisten aakkosten iso gammakirjain. Tässä yhteydessä se on
nimeltään Christoffelin symboli. Se riippuu vain metriikasta ja sen
derivaatoista seuraavasti

Kovasti sekavan näköinen on tämäkin, indeksejä vilisee kuin
Vilkkilässä kissoja. Tämä ∂ merkki on osittaisderivaatta
ja alaindeksi kertoo, minkä koordinaatin suhteen derivaatta lasketaan.
Esimerkiksi derivaatta r:n suhteen on ∂r = ∂/∂r.
Yläindeksillä varustettu g on edeltä tuttu aika-avaruuden metriikka. Muistetaan,
että yläindeksi m kertoo, mitä
koordinaattia tarkastellaan. Indeksit a,
b, s
saavat arvoja 0, 1, 2 ja 3. Kullekin koordinaatille on useita G-komponentteja indeksien mukaisesti.
Lohdullista on kuitenkin, että osa näistä komponenteista on nolla. Näin käy
siinä tapauksessa, jos metriikan komponentit eivät riipu differentioitavasta
koordinaatista.
Johdetaan seuraavaksi geodeetin yhtälö r-koordinaatille,
jolloin m = 1. Geodeetin yhtälö ja
Christoffelin symboli ovat


Seuraavaksi täytyy laskea
. Metriikassa kaikki
ristitermit ovat nollia, joten ainoa nollasta poikkeava komponentti on
(s =
1). Tällöin

Urakkaa helpottaa, että
vain silloin,
kun a = b.
Lasketaan seuraavaksi nollasta poikkeavat Christoffelin symbolit indeksien a ja b
arvoilla 0, 1, 2, 3.
Christoffelin symbolit
a = b = 0
Tiputellaan indekseille a
ja b arvoksi 0.

Yhtälössä ∂0 tarkoittaa
komponentin g01 osittaisderivaattaa ajan suhteen. Vastaavasti
∂1 on komponentin g00
osittaisderivaatta r:n suhteen. Metriikassa ristitermit ovat nollia (g01
= 0), joten jäljelle jää vain sulkulausekkeen viimeinen termi.

Metriikasta saadaan g00 = –(1 – 2M/r).
Lasketaan ∂1g00 = -2M/r2.
Sijoitetaan termit yhtälöön ja sievennetään.


a = b = 1
Sijoitellaan arvot indekseille, jolloin saadaan

Suluissa olevat termit ovat samoja, joten ne voidaan laskea
yhteen.

Lasketaan komponentin g11 = (1 – 2M/r)-1
osittaisderivaatta r:n suhteen
.
Sijoitetaan termit lausekkeeseen, jolloin saadaan


a = b = 2
Nyt Christoffelin symbolin komponentti on

Koska ristitermit ovat nollia, g21 = 0, ja
diagonaalikomponentti g22 = r2.

Lasketaan ∂1g22
= 2r. Sijoitetaan termit lausekkeeseen, jolloin saadaan


a = b = 3
Nyt on IPA:n
puuhailuissa viimeinen erä ja maali häämöttää. Viimeinen nollasta poikkeava
komponentti on

Komponentti g31 = 0 ja g33
= r2sinq, joten

Lasketaan ∂1g33
= 2rsin2q ja
sijoitetaan termit, jolloin


Lopultakin peli on symbolien osalta vihelletty poikki ja IPA saa hetken hengähtää. Katsotaanpa, mitä se
sai aikaiseksi. Nollasta eroavat Christoffelin symbolit ovat:
Geodeetin yhtälö on
. Summaussäännön perusteella
jälkimmäisessä termissä ylä- ja alaindeksit summataan. Muistetaan edeltä, että
indeksin arvo 0 vastaa aikakoordinaattia t, 1 etäisyyskoordinaattia r
jne. Kirjoitetaan jälkimmäinen termi auki

Sijoitetaan tähän edellä lasketut Cristoffelin symbolit,
jolloin r-koordinaatin geodeettinen yhtälö on

Geodeettisen yhtälön kolme muuta komponenttia voidaan myös
laskea vastaavalla tavalla, mutta tässä tapauksessa niitä ei tarvita.
Kiihtyvyys
Pienen lepohetken jälkeen IPA:n pienissä rattaissa alkaa raksutus, kuinka
tästä kaikesta saadaan laskettua sankarimme Anan neutronitähden pinnalla kokema
kiihtyvyys. Geodeetin yhtälö kertoo vapaasti liikkuvan kappaleen radan.
Neutronitähden pinnalla seisoessaan Ana ei ole vapaassa liikkeessä, vaan kokee
kiihtyvyyden tähden säteen suunnassa. Kiihtyvyyskomponentti on

Tämä on kiihtyvyysvektorin r-komponentti. Vastaavalla
tavalla voidaan geodeettinen yhtälö laskea muillekin komponenteille, mutta Anan
seisoessa neutronitähden pinnalla komponentit at = aq = af = 0.
Pinnalla seisoessa etäisyyskoordinaatti on neutronitähden
säde r = R ja kulmatermit q
ja f ovat vakioita, joten ne eivät
muutu. Näin ollen
. Tällöin kiihtyvyyden r-komponentti
on

Tämähän alkaahan näyttää kivalta yhtälöltä. Vielä pitäisi
miettiä, mitä
-termille tehtäisiin. Siihen
saadaan ratkaisu nelinopeusvektorin normalisaatioehdosta uaua = -1. Anan tapauksessa se on
, josta saadaan ratkaistua 

Sijoitetaan tämä kiihtyvyyden lausekkeeseen, jolloin

Tämä on siis Anan kiihtyvyysvektorin säteen suuntainen
komponentti muiden komponenttien ollessa 0.
Viimeisenä vaiheena lasketaan kiihtyvyysvektorin arvo
. Se on vektorin sisätulon
neliöjuuri
.
Koska kaikki muut komponentit ovat nollia

Sijoittamalla ar ja metriikan komponentti arr
= a11 saadaan lopultakin vastaus siihen, mitä IPA:n rattaat ovat Anan matkan ajan
raksutelleet. Anan kokema kiihtyvyys neutronitähden pinnalla on

Newtonin mukaan kiihtyvyys olisi M/R2.
Huomataan, että suhteellisuusteoriasta aiheutuu korjaustermi
. Sijoitetaan yhtälöön
vakiot G ja c

Anan kokema kiihtyvyys neutronitähden (R = 10 km,
kg) pinnalla olisi huikeat

Maapallon putoamiskiihtyvyyteen verrattuna kiihtyvyys on
.
Vastauksen saatuaan Ana tekee äkkijarrutuksen, kääntää
aluksensa ympäri ja unohtaa unelmat paremmista retkieväistä. Kenties jossain
avaruuden kätköissä odottaa lopulta herkullinen palkinto tästäkin reissusta —
laatikollinen mustaamakkaraa!