Katoavatko galaksit?

Tomi Hyvönen — Yksi maailmankaikkeuden suurimmista mysteereistä on pimeä energia. Olettaen sen käyttäytyvän kosmologisen vakion tavoin ennemmin tai myöhemmin, se alkaa hallita avaruuden laajenemista aiheuttaen kiihtyvän laajenemisen. Usein esitetty kysymys on, miten tulevaisuuden tähtiharrastaja havaitsee alati voimistuvan pimeän energian otteen ja siitä aiheutuvan kiihtyvän laajenemisen. Laajeneeko maapallo, Aurinkokunta, Linnunrata, tähtiharrastajan tajunta? Katoavatko galaksit näkyvistä?

 

Stephanin kvintetti on gravitaation toisiinsa sitoma galaksijoukko samoin kuin Paikallinen joukkomme. Paikallisten joukkojen galaksit eivät etäännyt toisistaan avaruuden laajetessa. Sen sijaan tässä JWST ottamassa kuvassa taustalla näkyvät galaksit häipyvät näköpiiristämme himmeten kaukaisessa tulevaisuudessa. Kuva ESA/JWST.

Ei laajene tajunta ainakaan pimeän energian vaikutuksesta, ei Linnunratakaan, eikä edes meidän galaktinen lähinaapurustomme Paikallinen galaksiryhmä. Kaukana olevan galaksin, sellaisen, joka ei ole gravitaation kahlein sidottu Linnunrataan, pimeän energian aiheuttama avaruuden laajeneminen vie lopulta horisontin taakse.

Lasketaan arvio, milloin maailmankaikkeuden tulevaisuudessa galaksit katoavat horisontin taakse. Teoreettinen viitekehys on standardikosmologian mukainen laajeneva isotrooppinen ja homogeeninen avaruus. Työkaluina ovat Robertsonin-Walkerin -metriikka ja yleisestä suhteellisuusteoriasta saatu Friedmannin-Lemaitren -yhtälö.

Isotrooppisuus ja homogeenisuus: Maailmankaikkeus on laajassa mittakaavassa isotrooppinen ja homogeeninen. Tätä kutsutaan kosmologiseksi periaatteeksi. Katsoipa avaruudessa missä paikassa ja mihin suuntaan tahansa, maailmankaikkeus näyttää aina keskimäärin samanlaiselta. Ei ole väliä, millä galaksilla havaitsija asustelee, jokainen galaksi on tasa-arvoinen paikka. Tätä tukevat useat havainnot. Kosminen mikroaaltotaustasäteily on hyvin tarkasti samanlainen jokaisessa suunnassa, galaksit ja kaukaiset radiolähteet ovat jakautuneet tasaisesti suunnasta riippumatta. Laskennalliseksi onneksi maailmankaikkeus on isotrooppinen ja homogeeninen. Se yksinkertaistaa huomattavasti yleisen suhteellisuusteoriasta saatavia avaruuden laajenemista kuvaavia yhtälöitä.

Robertsonin-Walkerin -metriikka: Herrat Howard P. Robertson ja Arthur G. Wilson miettivät 1930-luvulla kumpikin tahollaan, millainen geometria kuvaa laajenevaa isotrooppista ja homogeenista avaruutta. He osoittivat, että tällaisen avaruuden geometria voi olla vain jokin kolmesta: positiivisesti kaareva, tasainen, tai negatiivisesti kaareva. Näiden geometrioiden metriikka on

 

jossa funktio S(r) riippuu avaruuden geometriasta: positiivisesti kaareva S(r) = Rsin(r/R), tasainen S(r) = r ja negatiivisesti kaareva S(r) = Rsinh(r/R).

Tarkastellaan tässä vain nykyisen kosmologisen standardimallin mukaista tasaista geometriaa. Standardimallia kutsutaan LCDM -malliksi, koska maailmankaikkeus näyttää sisältävän oletettavasti kosmologisen vakion L mukaista pimeää energiaa ja kylmää pimeää ainetta (Cold Dark Matter). Metriikassa r on mukana liikkuva koordinaattietäisyys, q ja f ovat kulmatermejä ja t on aika. Koordinaattietäisyys r on jokaisella galaksilla kirjaimellisesti kiveen hakattu, galaksin mukana liikkuva koordinaatti. Se pysyy samana avaruuden laajentuessa. Laajenemisen ottaa huomioon ajasta riippuva skaalatekijä a(t). Tavallisesti se skaalataan siten, että ajan hetkellä nyt a(t₀) = 1. Skaalatekijä saadaan laskettua seuraavaksi esiteltävästä työkalusta, Friedmannin-Lemaitren -yhtälöstä.

Ominaisetäisyys: Astrofysiikan kannalta galaksin etäisyys on tärkeä tietää mahdollisimman tarkasti. Valitettavasti laajenevassa avaruudessa kaukaisen galaksin etäisyys ei ole yksikäsitteinen. Täytyy määritellä, millä ajan hetkellä ja millä menetelmällä etäisyys mitataan. Yksi määritelmä etäisyydelle on galaksin ominaisetäisyys d_p. Se on tietyllä ajan hetkellä mittanauhalla mitattu etäisyys. Ominaisetäisyys on teoreettinen määritelmä, sitä ei voida mitata tai havaita käytännössä. Galaksin ominaisetäisyys saadaan metriikasta, kun dt = dq = df = 0

d_p = a(t)r

Koska a(t₀) = 1, ominaisetäisyys nyt on mukana liikkuva koordinaattietäisyys

d_p(t₀) = a(t₀)r= r

Koordinaattietäisyys: Galaksista lähtevä valo kulkee avaruudessa valon nopeudella. Valon galaksista lähtemisen ja havaitsemisen välinen tapahtuma on valon luonteinen. Tällöin vain valon nopeudella kulkeva signaali on ehtinyt kulkea tapahtumien välisen matkan, joten ds² = 0. Valo kulkee suoraviivaisesti, joten kulmatermit dq = df = 0. Nyt metriikasta saadaan

 

Tästä saadaan yhtälö

Friedmannin-Lemaitren -yhtälö: Avaruuden laajenemisen kuvaamiseen tarvitaan yleistä suhteellisuusteoriaa. Kiitos isotrooppisuuden ja homogeenisuuden ratkaisuna saadaan Friedmannin-Lemaitren -yhtälö, josta skaalatekijä a(t) voidaan ratkaista. Yhtälö saadaan kirjoitettua aineen ja pimeän energian (kosmologinen vakio) hallitsevassa maailmankaikkeudessa muotoon

 

jossa H(a) on Hubblen parametri, H₀ Hubblen vakio (Hubblen parametri nyt), W_m ja W_L ovat aineen ja pimeän energian suhteelliset osuudet. Kosmologian standardimallin mukaisesti käytetään arvoja H₀ = 70 km/s/Mpc, W_m = 0,3 ja W_L = 0,7. Koska avaruuden geometria on tasainen, W_m + W_L = 1. Aineen osuus pienenee maailmankaikkeuden laajetessa kääntäen verrannollisesti skaalatekijän kuutioon, joten pimeän energian osuus kasvaa avaruuden laajetessa. Sijoitetaan arvot Friedmannin-Lemaitren -yhtälöön, jolloin saadaan

Punasiirtymä: Skaalatekijää tai aikaa ei suoraan pystytä havaitsemaan. Se, mikä voidaan helposti mitata, on galaksin punasiirtymä z. Punasiirtymä kertoo, kuinka paljon galaksista lähteneen valon aallonpituus on kasvanut valon kulkiessa laajenevassa avaruudessa. Laboratoriossa mitattu vetyatomin Ha -spektriviivan aallonpituus on l_lab = 656 nm. Jos sama spektriviiva havaitaan galaksin spektrissä esimerkiksi aallonpituudella l_hav = 985 nm, galaksin punasiirtymä on

 

Punasiirtymän ja skaalatekijän välillä on tärkeä relaatio

 

Galaksin havaitusta punasiirtymästä saadaan laskettua, kuinka paljon maailmankaikkeus on laajentunut säteilyn lähtemisen ja sen havaitsemisen välillä. Mitä suurempi punasiirtymä on sitä pienempi skaalatekijä. Punasiirtymällä z = 0,5 skaalatekijä, ja siten galaksien välinen etäisyys, oli a = a₀/1,5 = 0,67a₀. Maailmankaikkeuden alussa (t = 0) skaalatekijä ja punasiirtymä ovat a = 0 ja z = ∞.

Horisontit: Horisontit riippuvat kosmologisesta mallista. Joissakin malleissa, LCDM -standardimallissa, maailmankaikkeudessa on kaksi horisonttia, hiukkashorisontti ja tapahtumahorisontti. Lyhyesti sanoen ne kuvaavat sitä, mihin asti ja mitä maailmankaikkeudessa voimme nähdä. Hiukkashorisontti on suurin mahdollinen etäisyys, josta valo on tähän mennessä ehtinyt meille asti maailmankaikkeuden iän aikana. Se on mm. sekä pelkkää ainetta sisältävässä Einsteinin-deSitterin -mallissa että nykyisessä LCMD -mallissa. Tapahtumahorisontti on suurin etäisyys, josta lähtenyt valo voi koskaan tulla meille asti. Tapahtumahorisonttia suuremmilta etäisyyksiltä valo ei koskaan maailmankaikkeuden tulevaisuudessa saavuta meitä. Tapahtumahorisonttia ei ole mm. Einsteinin-deSitterin -mallissa, mutta pimeästä energiasta johtuen nykyisessä standardimallissa kyllä.

Hiukkashorisontti: Hiukkashorisontti on suurin etäisyys, jonka valon nopeudella kulkeva signaali on ehtinyt kulkea laajenevassa maailmankaikkeudessa maailmankaikkeuden iän aikana. Hiukkashorisontin ominaisetäisyys nyt saadaan edellä olleesta yhtälöstä integroimalla maailmankaikkeuden alusta t = 0 nykyhetkeen t₀. Skaalatekijä a(t₀) = 1, joten ominaisetäisyys on mukana liikkuva koordinaattietäisyys

 

Edellä Friedmannin-Lemaitren -yhtälö on skaalatekijän a funktio, joten kirjoitetaan dt skaalatekijän da avulla

Sijoitetaan tämä hiukkashorisontin ominaisetäisyyden yhtälöön ja vaihdetaan integrointirajat. Ajan hetkeä t = 0 vastaa a = 0 ja nykyhetkeä t = t₀ vastaa a = 1. Nyt hiukkashorisontin ominaisetäisyys d_H on

 

Sijoitetaan 

 

 

Tämä voidaan integroida numeerisesti. Hiukkashorisontin ominaisetäisyydeksi nyt saadaan d_H,0~ 46 miljardia valovuotta. Nyrkkisääntönä voi muistaa, että horisontin etäisyys on noin d_H≈ 3ct₀. Jos avaruus ei laajenisi, hiukkashorisontti olisi ct₀. Analogiana voi ajatella juoksijaa alustalla, jota venytetään molemmista päistä. Juoksija juoksee koko ajan samalla nopeudella, mutta alustan venyessä juoksija joutuu juoksemaan venymättömään alustaan verrattuna pidemmän matkan.

Hiukkashorisontin voi ajatella olevan havaittavan maailmankaikkeuden reuna. Tätä kauempaa valo ei vielä ole ehtinyt meille asti. Horisontin sisäpuolinen alue on meidän havaittavissa oleva maailmankaikkeutemme. Sähkömagneettisen säteilyn avulla pystymme havaitsemaan vain punasiirtymälle z ≈ 1 000 kosmisesta mikroaaltotaustasäteilystä johtuen. Tämä ns. viimeisen sironnan pinta on hyvin lähellä hiukkashorisonttia. Jokaisella galaksilla on oma horisonttinsa.

Hiukkashorisontin yhtälö kirjoitetaan usein myös punasiirtymän avulla. Muistetaan, että skaalatekijän ja punasiirtymän välillä on relaatio a = 1/(1 + z). Muutetaan lisäksi integrointirajat siten, että maailmankaikkeuden syntyhetkellä, kun a = 0, punasiirtymä on z = ∞. Nykyhetkellä a = 1 ja punasiirtymä z = 0. Hubblen parametri punasiirtymän funktiona on

 

Nyt horisontin ominaisetäisyys on

Tapahtumahorisontti: Lopultakin päästään vastaamaan alussa esitettyyn kysymykseen, katoavatko galaksit kirjaimellisesti avaruuden pimeyteen. Kosmologinen malli sisältää tapahtumahorisontin, jos integraali ∫cdt/a suppenee. Näin käy mm. pimeää energiaa sisältävässä LCDM -mallissa, mutta ei esimerkiksi vain ainetta sisältävässä Einsteinin-deSitterin -mallissa. Se on raja, jota kauempana olevan galaksin valo ei koskaan saavuta meitä. Tilannetta voi ajatella siten, että muurahainen juoksee kuminauhalla, jonka päitä Kelju K. Kojootti vetää kiihtyvällä nopeudella. Muurahainen pinkoo koivet vispaten suurinta mahdollista nopeuttaan, mutta siitä huolimatta maaliviiva etääntyy.

Tapahtumahorisontin ominaisetäisyys nyt d_T,0 saadaan samasta yhtälöstä kuin hiukkashorisontti, mutta nyt integrointirajoina ovat alaraja t₀ ja yläraja ∞.

 

Lasketaan ensin tapahtumahorisontin etäisyys nyt d_T,0. Kirjoitetaan yhtälö skaalatekijän avulla dt = da/aH(a) ja muutetaan alaraja a(t₀) = 1. Tapahtumahorisontin ominaisetäisyydeksi nyt saadaan

 

Sijoitetaan

 

 

Lasketaan integraali numeerisesti. Tapahtumahorisontin ominaisetäisyys nyt ond_T,0≈16,5 
miljardia valovuotta. Tämä vastaa punasiirtymää z ≈ 1,9. Galaksista, jonka punasiirtymä on tätä suurempi, nyt lähtevä valo ei koskaan saavuta meitä. Näemme galaksista lähteneen valon, joka on lähtenyt ennen tapahtumahorisonttia.

Tapahtumahorisontti on pimeän energian aiheuttaman kiihtyvän laajenemisen seuraus. Lopulta kaikki galaksit, jotka eivät ole gravitaation sitomia, katoavat horisontin taakse. Kun galaksien ominaisetäisyys saavuttaa tapahtumahorisontin ominaisetäisyyden, galaksista lähtevä valo ei enää pääse meille. Galaksi ei kuitenkaan välittömästi katoa näkyvistä. Galaksin lähestyessä horisonttia, säteily punasiirtyy, kirkkaus pienenee voimakkaasti ja katoaa lopulta havaitsemattomiin. Samalla tavoin, kuin mustan aukon horisontin tapauksessa, ulkopuolinen havaitsija ei koskaan havaitse kappaleen ylittävän tapahtumahorisonttia.

Tarkastellaan seuraavaksi galaksin ja tapahtumahorisontin ominaisetäisyyksiä avaruuden laajetessa.

Olkoon esimerkkigalaksin punasiirtymä z = 0,5. Galaksin ominaisetäisyysnytsaadaan punasiirtymän avulla(a₀ = 1)

 

 

Galaksin ominaisetäisyydeksi nyt saadaan d_G,0 = 6,16 Gly.

Galaksin ominaisetäisyys avaruuden laajetessa on

Maailmankaikkeuden iän ja punasiirtymän välillä on yhtälö

 

Tästä saadaan laskettua myös maailmankaikkeuden nykyinen ikä t₀≈ 13,5 Gyr sijoittamalla alarajaksi z = 0.

Tapahtumahorisontin ominaisetäisyys d_T(t) laajenevassa avaruudessa saadaan tutusta yhtälöstä a(t)∫cdt/a, mutta nyt integroinnin alarajana on skaalatekijä a(t)

 

 

Skaalatekijä nyt on a₀ = 1. Avaruuden laajetessa a > 1, jolloin myös integraalin alaraja kasvaa ja vastaavasti integraalin arvo pienenee. Avaruuden laajetessa aineen osuus pienenee jatkuvasti (a^-3) ja kosmologinen vakio alkaa hallita. Lopulta lähestytään tilannetta, jossa laajenemista hallitsee vain kosmologinen vakio. Kun a→∞, Hubblen parametri H(a) ≈ H₀(W_L)^-½ ja tapahtumahorisontin ominaisetäisyys lähestyy arvoa d_T ≈ 17,5 Gly (kts. alla oleva kuva).

Arvioidaan, milloin esimerkkigalaksimme ylittää tapahtumahorisontin. Ulkopuolisen havaitsijan näkökulmasta galaksi ei koskaan ylitä horisonttia, mutta galaksin lepokoordinaatissa näin tapahtuu. Merkitään galaksin ja tapahtumahorisontin ominaisetäisyydet yhtä suuriksi d_G = d_H. Skaalatekijä supistuu pois, joten saadaan

 

Skaalatekijä, jolloin galaksi ylittää tapahtumahorisontin saadaan ratkaisemalla a(t). Edellä laskettiin r_G ≈ 6,2 Gly, joten

Ratkaistaan numeerisesti skaalatekijän arvo a_c, jolloin galaksi ylittää tapahtumahorisontin. Saadaan a_c ≈ 2,7.Tällöin maailmankaikkeuden ikä olisi t_c ≈ 30 miljardia vuotta, eli galaksi ylittää horisontin noin 16 miljardin vuoden kuluttua.

Galaksi ei kuitenkaan katoa tällöin meidän näkyvistä. Aikaisemmin lähtenyt valo matkustaa laajenevassa avaruudessa edelleen. Mitä lähemmäs horisonttia galaksi tulee sitä enemmän säteily punasiirtyy (z→∞) ja kirkkaus pienenee. Lopulta galaksi katoaa havaintojen ulottumattomiin.

Punasiirtymä riippuu skaalatekijästä valon lähtiessä galaksista a_e ja havaitsemisen aikaisesta skaalatekijästä a_o

 

Jos skaalatekijä on a_e≈ 2,7 ja oletetaan havaitsemisrajan punasiirtymäksi 500. Nyt a_o≈1 300. Arvioidaan maailmankaikkeuden ikä t_o, kun a = 1 300.

 

Sijoitetaan ylärajaksi a_o= 1 300 ja lasketaan numeerisesti. Tästä saadaan iäksi t_o≈ 130 miljardia vuotta. Kosmologisista parametreista riippuen galaksit katoavat tulevaisuuden tähtiharrastajan ulottumattomiin noin 100 miljardin vuoden aikana. Tähtitieteen loppu se ei ole, mutta ekstragalaktisen tähtitieteen loppu kyllä. Olemme yksinäinen saareke avaruudessa vailla kosmisia kavereita.

Tilanne ei välttämättä kuitenkaan ole näin lohduton. Analyysi perustui siihen, että pimeä energia on kosmologinen vakio. Käyttäytyykö mahdollinen pimeä energia todella kosmologisen vakion tavoin, on erittäin ajankohtainen kysymys. Tutkimustulokset antavat viitteitä siitä, että pimeä energia ei olisikaan vakio, vaan pienenisi maailmankaikkeuden laajetessa. Tämä olisi hyvä vaihtoehto ekstragalaktiselle tähtitieteelle.